中考数学强化训练09相似形，解直角三角形
相似形，解直角三角形
一．填空题（每空3分，共30分） 1．若
abc??,且a+2b－c=12,则b=________． 3572．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为 ． 3．△ABC中,AC=2,BC=7,AB=3,则cosA=_________．
4．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB= ． 5．如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ．
6．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1．8米，乙身高1．5米，则甲的影长是 米． A
D BC
7．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___ _m．
8．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2．7m，则AB与CD间的距离是__________m．
A时
B时
9．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．
10．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
y A1 10 9 8 7 6 A 5 4 B1 C1 3 2 C B 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
二．选择题 （每空3分，共18分） 11．下列命题中，是真命题的为（ ）
1
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A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 12．在Rt△ABC中，∠C＝90o，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
13．如图，?ABC=?EFC=70?，?ACB=60?，?DGB=40?，则下列哪一组三角形相似？ （ ） A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC 14．如图，△ABC中，点DE分别是AB、AC的中点，则下列结论： ①BC=2DE；②△ADE∽△ABC； ③ADAB?．其中正确的有 （ ） AEACA．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为 （ ） A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5
A BA DE DED H
CB C BA CG F
16．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”
的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为
（ ）
A．(?a， B．(?2a，?2b) ?b) C．(?2a， D．(?2b，?2b) ?2a) 三．解答题（共102分）
17．如图，在某广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度（精确到0．1米，3=1．732）（10分）
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．（12分）
D B
P5 P1
P2
A F
P3 P4
E C
2
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19．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（12分）
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
20．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．
（1）求证: ?ABE与?ABD相似；(2)求tan?ADB的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使?BDF的面积等于83，求?EDF的度数．（14分）
21．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上．（12分） (1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．（14分） 求证：（1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE．
3
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23．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．（14分） 24．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（14分）
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
C
D ABO
P
4
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答案
一.填空题
1.10 2.9：16. 3.
23 4.3 5.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB或
ADAC?ACAB 6.6 7.4 8. 1.8 9.?9,0? 10.144 二.选择题
11. D 12. D 13. B 14. A 15. A 16. C 三.解答题
17.解：过点P作PC⊥AB于C点，设PC=x米．
在Rt△PAC中，tan∠PAB=
PCAC，∴AC?PCtan45?=PC=x（米） 在Rt△PBC中，tan∠PBA=PCPCBC∴BC=tan30?=3x（米）
又∵AB=90 ∴AB=AC+BC=x?3x?90 ∴x?901?3?45(3?1)（米）∴PC=45(1.732－1)=32.9（米）
18.解：(1)△ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 ；DE?42，DF?22，∵
ABDE?ACDF?BCEF?522，∴△ABC∽△DEF． (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
B
D
P1 P5
A P2 F P3 P4 C E 19.解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE
(2)①证△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE ∴△ABC∽△ADE． ②证△ABD∽△ACE．
AB?AC∵△ABC∽△ADE，∴ADAE 又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE
20.（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ
5
EF?210．