中考数学强化训练09相似形，解直角三角形
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝23
２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝
3 3（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝60° 21.(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ?DBA = ?CAE,
又∵
ABBD??3, ∴ △ABD∽△CAE. ACAE(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，∴?D =90°, 由（1）得 ?E =?D = 90°, ∵ AE=
1122BD , AB = 3BD ， BD , EC =AD =
333122BD )2 + (BD)2 33∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +=
1082
BD = 12a2 , ∴ BC =23a . 922.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，即AD是底边BC上的高．
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中点 (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE=∠CAD． 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；
（3）证明：由△BEC∽△ADC，知∵D是BC的中点，∴CD=
CDCE?，即CD·BC=AC·CE． ACBC1BC． 212 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．
223.解：（1）在正方形ABCD中，AB?BC?CD?4，?B??C?90°， ?AM⊥MN，??AMN?90°，??CMN??AMB?90°， 在Rt△ABM中，?MAB??AMB?90°，
??CMN??MAB，?Rt△ABM∽Rt△MCN， （2）?Rt△ABM∽Rt△MCN，
?x2?4xABBM4x??，??，?CN?， MCCN4?xCN4?y?S梯形ABCN?1??x2?4x112???4?·4??x2?2x?8???x?2??10， 2?422?当x?2时，y取最大值，最大值为10．
6
中考数学强化训练09相似形，解直角三角形
（3）??B??AMN?90°，
?要使△ABM∽△AMN，必须有
由（1）知
AMAB?， MNBMAMAB?，?BM?MC， MNMC?当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x?2．
24.(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴AC?BC．∴AC·CD＝PC·BC；
CPCDCAOEPDB
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝2BC＝22．
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
2又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝4．
3∴PE＝
BE＝3(2BC)＝32．
tan?CPB422从而PC＝PE＋EC＝72．由(1)得CD＝4PC＝142 323(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝1PC·CD．由(1)可知，CD＝4PC．
23∴S△PCD＝2PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
3而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝2×52＝50．
337