高中数学综合训练系列试题(13)
参考答案及评分标准
一、选择题： 题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答B C D C B C A A D B C A 案 二、填空题：13 12?，14 3 ，15 ?1，16 ①②③，17 1(?2,?2)?(2,2)，18 ?
5?19 解：⑴?a?b??b?0?sin?cos?1?sin?----------------3????22242??分
???0或
?----------------------------------------------------------------------6分
????2???????1??1⑵?1?cos?cos?1?sin?sin???cos?sin?-------9分 ?????2?3?sin???42?2?21?cos2??1?2sin2???82222-------------------------------12分
20 解：(1)取AD中点M，设PO?面ABCD，连MO PM，
则?PMO为二面角的平面角，?PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，---2分
tan?PAO?62,
设
AB?a,AO?2aPO?AO?tan?POA?3atan?PMO?PO?3 2,2,MO∴∠
PMO=60°--------------------------------------------------------------------------------------4分
(2)连OE，OE∥PD，?OEA为异面直线PD与AE所成的角
AO?BD???AO?平面PBD??AO?PO???AO?OEOE?平面PBD??----------------------------6分
AO210?EO5∵
OE?11PD?22PO2?DO2?5a4∴
tan?AEO?-------------------8
分
3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG MG
BC?MN???BC?平面PMN?平面PMN?平面PBCBC?PN?
--------------------10
又
PM?PN????PMN为正??MG?PN???PMN?60???MG?平面PBC平面PMN平面PBC?PN??分
1MF?MA?EG∴EF∥MG 取AM中点F，∵EG∥MF∴2∴EF?平面PBC 即F为四等分点-----------------------------------------------------12分
21 （Ⅰ）∵f(x)≤g(x)，∴7x2?28x?c≤2x3?4x2?40x，
即?2x3?3x2?12x≤c
令h(x)??2x3?3x2?12x，则h?(x)??6x2?6x?12??6(x?1)(----2x?2)分
列表如下
2 x [－3，－－1 （－1，（2，3 ]
1） 2）
h?(x) 0 + 0 － － h(x) 减 极小 增 极大 减
∵，，h(?3)?45h(0)?0h(x)max?-------------------------------------------------4分
∴当x?[－3，3]时，h(x)?45
若对任意x?[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，则c?45----------------------7分
（Ⅱ）∵当x1?[－3，3]时，f(x1)?7x12?28x1?c?7(x1?2)2?28?c
≤
f(?3)?147?c------------------------------------------------------------9分
当x2?[－3，3]时，对于g(x2)?2x23?4x22?40x2
g?(x2)?6x22?8x2?40?2(3x22?4x2?20)?2(x2?2)(3x2?10)
列表如下
x2 2 [－3，2） （2，3 ] g?(x2) 0 + － g(x2) 减 极小 增
∴当[－3，3]时，x2?x?)m?i--------------------------11g(2)4分 8g(x2)?g(2∵对任意x1?[－3，3]，x2?[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立， ∴147?c?48， ∴c的取值范围为 c?195-------------------------------14分 22 解：（I）?S2?kS1?2?a1?a2?ka1?2 又a1?2,a2?1,2?1?2k?2分
（Ⅱ）由（I）知Sn?1?Sn?2 ①， 当n?2时，Sn?Sn?1?2 ②
①
－
②
，
得
1212?k?1 --------------------------------421an(n?2)----------------------------------------------------6分 2a11又a2?a1，易见an?0(n?N*)?n?1?(n?N*)
2an21于是{an}是等比数列，公比为，所以
212?[1?(?)n]12Sn??4(1?n)-----9分
121?214(1?n)?mS?m112（Ⅲ）不等式n?，即?，整理得2?2n(4?m)?6
1Sn?1?m224(1?n?1)?m2假设存在正整数m,n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，an?1??2n?2,?2n?4, 4?m为整数，则只能是2(4?m)?4 ??或??4?m?2;?4?m?1n-------------------------12分 因此，存
m?2,n?1;或m?3,n?2,使在正整数
Sn?m1?--------------14分
Sn?1?m223 解：1）解：由OC?tOM?(1?t)ON（t?R）
知点C的轨迹是M N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y?3?y?x?4----------2分
1?(?3)?(x?1)即4?y?x?4由?2?(x?4)2?4x?x2?12x?16?0 ?y?4x∴x1x2?16 x1?x2?12
∴y1y2?(x1?4)(x2?4)?x1x2?4(x1?x2)?16??16----------------5
分
x1x2?y1y2?0OA∴ 故 ⊥
OB-----------------------------------------7分
2）解：存在点P(4,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦
为直径的圆都过原点，由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 故，设弦所在的直线方程为：x?ky?4 代入 y2?x 得 y2?4ky?16?0， ∴ y1?y2?4k y1y2??16
kOA?kOB?y1y2yy1616??12?22????1 x1x2y1y2?16y1y244∴OA?OB 故以AB为直径的圆都过原点-------------------------------------10分
设弦AB的中点为M(x,y) 则x?(x1?x2) y?(y1?y2) ∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
?x?2k2?4??y?2k1122x1?x2?ky1?4?ky2?4?k(y1?y2)?8?k?(4k)?8?4k2?8
消去
k得
y2?2x?8--------------------------------------14分