???W=?Fi??ri?0
即所有作用于体系上的主动力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。 ? 分量表达式之直角坐标分量表达式
n?? n?W?Fi??ri?(Fix?xi?Fiy?yi?Fiz?zi)?0 i?1i?1??? 分量表达式之广义坐标表达式
?n??r iQ???Fi??0?q i?1?问题：上述关系如何得到的？
,??1,2,?,s对于力学体系，3n个坐标是不独立的，它们可用广义坐标表示出来，即直角 坐标是广义坐标的函数，ri?ri(q1,q2,?,qs,t)。对此函数求变分可得虚位移，代入虚功原理的直角坐标表达式后可得上述关系。
问题：Q?对应一个什么性质的物理量？ （2）证明
要求能够证明虚功原理作为力学体系处于静力平衡条件的充分性和必要性（光 信第一组的讲义中只对其必要性进行了证明）。
?????Fi??ri?0 ； ????充分性：已知 ?W= ?Fi??ri?0 ，求证 Fi?Ri?0 ，反证法。
??必要性：已知 Fi?Ri?0 ，求证 ?W=
（3）虚功原理的意义—静力平衡的牛顿力学与分析力学比较
静力学主要研究质点及质点系的平衡问题，静力学的研究应该给出物体平衡的 充要条件。下面通过牛顿力学中静力学与虚功原理的比较来加深对虚功原理的理解。
ⅰ牛顿力学在静力学中给出的静力平衡条件对任意质点系的平衡来说只是必要 的，但不总是充分的。而虚功原理则给出了任意质点系平衡的充要条件，是质点系 静力平衡的普遍原理。
ⅱ 牛顿静力学是利用主动力与约束力之间的关系来给出质点系平衡条件的，虚 位移原理则是通过主动力在约束许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件的。
ⅲ 虚功方程中不反映全部理想约束的约束反力，这是应用虚功原理解决质点系 平衡问题的主要优点之一。
ⅳ 应用虚功原理也能简便的求出约束反力。此时只要解除约束，将相应的约束 反力作为主动力即可。对于具有摩擦和弹簧的非理想约束系统，则应将摩擦力和弹 性力作为主动力。通常一次解决一个未知量的约束，使体系增加一个自由度。
三、习题
1 用虚功原理解题步骤
（1）确定所要研究的物体系统，判别约束是否为理想约束
11
（2）分析作用于此系统的主动力
（3）建立适当的坐标系，确定广义坐标数 ? 广义坐标必须是独立的
? 必须能位移的确定系统的位形，所选的广义坐标的每一组值应该能够确定
系统唯一的一个位形
（4）写出每个主动力做的虚功，列出用广义坐标表示的虚功原理的虚功方程 （5）找出虚位移间的关系 （6）解方程
2 确定各虚位移间关系的方法-几何法与解析法
应用虚功原理解题时列出虚功方程后关键是求出各虚位移间的关系，确定虚位 移间的关系方法主要有两种，即几何法和解析法。
ⅰ几何法：利用系统的几何关系或各点速度间关系来确定各虚位移间关系。 ⅱ 解析法：建立静止直角坐标系，把做虚功主动力作用点直角坐标（x，y，z） 表示为某些独立变量的函数，然后进行变分运算（类似于微分运算），求得各点虚位 移的投影?x、?y、?z后代入虚功方程即可。
3 习题 ? 例题
例1 有一个椭圆规结构如图（见课堂笔记），曲柄轴为O ，向滑块A给一竖 直向下的力P 使曲柄向右运动。要使图中成? 角时平衡，作用于OC上的力矩应 多大？假设机构处于水平面内，所有接触面光滑，OC = AC = CB = l 。
例2 （见06光信第一组计算题3） ? 学生题（06应物第1组） 简答题
（1）何谓完整的力学体系? （2）简述理想约束。
（3）试比较虚位移与实位移。
（4）在何种情况下一对大小相等、方向不一定相反的约束力所作虚功为零？ （5）简述虚功原理。
选择题
（1）如下图所示，刚性杆AB的A端用铰链固定，B端用铰链和刚性杆BC连接（两个杆均视为刚体），则该系统有几个自由度？
A 2 B 3 C 4 D 5
12
（2）力系中所有的力都与某一直线相交，且垂直与该直线，则该力系最多有几个独立的平衡方程？
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
计算题1（06光信虚功原理计算题2与之同）
06光信题解
题目：图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。 作用线平分?ABC。设AB = BC ，?ABC?2?，各处摩擦及杆重不计，求对物体 的压缩力。
解：取机构为研究对象，受力如图，建立图示坐标系，以?角为自变量，如B 、
C两点有虚位移 ?xB 、?yB，由虚功原理有
Fx?xB?Qy?yc?0
期中力和虚位移都是代数值，故有
F?xB?Q?yC?0
写出B、C点的坐标并求变分
?xB??lcos? ?xB?lsin???
yC?2lsin? ?yC?2lcos???
代入虚功方程可求得
?Flsin????2Qlcos????0 Q?
计算题2
1Ftg? 2 13
计算题3
? 学生题（06光信第1组） 计算题1
题目：椭圆规机构连杆长为l，各处摩擦不计，在图示位置平衡。求主动力FA和FB之间的关系。
解：研究整个机构的平衡，设系统有虚位移 ?rA、?rB，如图所示。由虚功原理有
14
因为
FA?rA?FB?rB?0vA??rAdt,vB??rBdt
则虚位移间有如下关系
?rBv?B?tg? 即 FA?tg??rAvAFB计算题2（此题即课堂例题）
题目：均匀杆OA，重P1 ，长为l1 ，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此
杆的A端用铰链连另一重P2 ，长为l2 的均匀杆AB， 在AB杆的B端加以水平力
F，求平衡时此二杆与水平线所成的角度? 及? ，如图所示。
解：经分析，此力学体系自由度为2 。选?和?为广义坐标，由虚功原理得
?W?P1?y1?P2?y2?F?x3?0 （1） 写出坐标及变分
y1?l1sin?2?y1?l1cos????2ll2sin? ?y2?l1cos?????2cos????
22?x3??l1sin?????l2sin????x3?l1cos??l2cos?y2?l1sin??将上面结果代入（1）式有
l1l2P(cos????)?P(lcos?????cos????)?F(l1sin?????l2sin????)?0 12122l1l(Pcos??P2l1cos??Fl1sin?)???(P22cos??Fl2sin?)???0 122因为??、??是互相独立的，故有
l1cos??P2l1cos??Fl1sin??02 lQ??P22cos??Fl2sin??02Q??P1所以 tg??
07光信第二组
1.只要约束所允许，可任意假设虚位移的大小和方向。
2.因为实位移也是约束所允许的，因此在任何情况下，实位移都是虚位移中的一个。 3.所谓理想约束，是指在任何虚位移中，约束反力所作虚功之和等于零的约束。 4.所谓广义坐标是指确定质点系位置的参数。
P1?2P22Ftg??P2 2F 15