5.在完整约束条件下，质点系的自由度数等于确定质点系位置的独立参数的个数。 6.广义力一定具有力的量纲。
7.具有理想约束的质点系，在给定位置上平衡的充要条件是作用于质点系上的所有动力在该位置的一组虚位移中元功之和等于零。 8.静力学中平衡方程和虚功方程都可以用来求解平衡问题，且＿＿＿
（A）静力学平衡方程给出了质点系平衡的必要条件，而虚功方程给出了质点系平
衡的冲要条件。
（B）二者都给出了质点系平衡的充分必要条件。
（C）静力学平衡方程给出了质点系平衡的充分条件，虚功方程给出了质点系平衡
的必要条件。
（D）静力学平衡方程给出了质点系平衡的必要条件，虚功方程给出了质点系平衡
的充分条件。
9.有n个质点组成的质点系有k个定常约束，对于平面系统，其自由度数S=2n-k ; 于空间系统，其自由度数 S=3n-k 。则对图中平面机构，其自由度为
10.椭圆规如图（a）所示，滑块A和B于长度为l的杆AB铰接，略去摩擦和各物 体自重，求机构在图示位置平衡时主动力 之间的关系。
11.在图中所示系统中除去连接H点的二杆长度为l外，其余各杆长度均为2l，弹 簧的刚度系数为k的当未加水平力P时弹簧不受力，且
不考虑各干的重量与形变，求平衡于 角位置时水平力P的大小。
07材料第二组
⒈ 应用虚位移原理求解系统的平衡问题时，所列问题中将不会出现约束反力（ ） ⒉ 虚位移原理既能解决静态平衡问题又能解决动态非平衡问题（ ） ⒊ 虚位移原理适用于刚体但不适用于变形体系统（ ）
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4. 实位移的广义坐标表达式为_____，虚位移的广义坐标表达式为_____。
5. 如图所示，A,B,C为等边三角形，D,E,F分别为三边的中点，则CD杆的内力为_____。 6. 一轮滑组由一定滑轮A与n个动滑轮所组成，平衡时被举起的重物Q与作用于绳子一端的力P之比为_____。
7. 机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力F1和F2关系 。
8. 已知：BC=AB=L，BE=BD=b，弹簧刚度为k，当x=a时，弹簧拉力为零，该系统在力F作用下平衡，杆重不计，求平衡时x=? 9. 判断下列方程为何种约束:
10.下列约束是否为理想约束：
① 光滑表面； ② 带摩擦的铰链； ③ 刚体内部约束； ④ 可伸长的绳索
第三部分：拉格朗日方程—动力学
一、达朗贝尔原理 （一）基本概念 1 广义力
Q????ri??Fi??q?i?1n,??1,2,?,s（1） 广义功（力的功、表面张力功、力矩功、体积膨胀功、可逆电池电荷移动功等）
d W = Y i d y 其中y为广义坐标(generalized coordinates)；dy为广义位移 (generalized
displacement)；i为对应于不同种类的作用类型；Y为广义力(generalized force)；dW为广义功(generalized work)。
广义的思想是理论力学中应用最多的思想方法之一，例如广义力、广义功、广义 坐标、广义能量、广义速度、广义动量等，望同学们细细体会其中含义。
（2） 用广义坐标表示的虚功原理
由虚功原理的广义作标表示法引入了广义力的概念，它源于功的表示式中使广 义位移发生的作用的意义。
问题：主动力是否一定是广义力？
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（3） 广义力的求法 ? 定义法
? 虚位移变分求解广义位移系数对比法 ? 单一广义位移法
? 广义坐标表示的主动力的势函数对相应的广义坐标求偏导法 2 惯性力
问题：什么是惯性力？
为了在非惯性系中形式的应用牛顿定律而引入的虚拟力，它不是物体间相互作 用，而是由于非惯性系的非惯性运动产生的，无施力物体，无反作用力。我们见过
??的惯性力有平动惯性力、惯性离心力、克里奥利力等。F??ma
（二）达朗贝尔原理
???1 质点的达朗贝尔原理 F?R?F0?0
在质点运动任一瞬时，作用在一个质点上的主动力、约束力、虚拟的惯性力在
??0，也可表示为 F?R?F?0，形式上组成平衡力系，即 F?R?m? r0??? 称为达朗贝尔惯性力。 式中的 F0??m?r???2 质点系的达朗贝尔原理 Fi?Ri?F0i?0 I = 1,2,3.....
在质点系运动的任一瞬时，作用在质点系上每一个质点的主动力、约束力、虚 拟的惯性力在形式上组成平衡力系。
问题：质点系的达朗贝尔原理可否表示成 （三） 牛顿惯性力与达朗贝尔惯性力 相同点：本质上都是惯性力
不同点：达朗贝尔惯性力不存在统一的参考系，牛顿惯性力有统一参考系 （四） 达朗贝尔原理意义
达朗贝尔原理提供了一个处理非自由质点系动力学问题的普通方法，此方法的 特点是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，称为动静法。
惯性力是虚拟的，并不是真实的作用于质点或质点系上的力，因此达朗贝尔原 理只是提供了一种用静力学的方法写出动力学方程的简单方法。引入惯性力后，动 力学方程只形式的写成了平衡方程，实质仍然是动力学方程。
方程形式上的这种变换带来分析问题和列方程的便利，引出了新观点，即对于 作任何运动的质点或质点系，除真实作用的主动力和约束力外，只要在每个质点上 加上它的惯性力，就可直接应用静力学中的平衡理论来建立质点系的运动与作用于 质点系的力之间的关系从而求解动力学问题。
二、动力学的普遍方程-达朗贝尔·拉格朗日方程
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?????????，为什么？ (F?R?F?ii0i)?0ni?1受理想约束的质点在其运动的任一瞬时，作用在各质点的主动力和惯性力在系 统的任何虚位移上所做的虚功之和为零，即
n????)??r ?(Fi?mi? （1） rii?0i?1? 因不是真静力学问题，故不要求必须是稳定或完整约束，但必是理想约束。
?? 式中? r?i是对静参考系而言，若是对非惯性系需加入惯性力且归入主动力。
? 式中的各虚位移都要受到约束的限制，因而不是都独立的，只有用广义坐 标的虚位移时才能得到它们的系数分别为零，从而变为可利用的动力学方程。也只 有这样，才能利用达朗贝尔·拉格朗日方程求解动力学问题。
? 由表达式可见该方程正是静力学虚功原理在解动力学问题时应用，即动静法。 三、拉格朗日方程（以下各式中??1,2,3,?,s）
????ri?)?1 广义坐标表示的拉格朗日方程：?(Fi?mi?r?0 （2） i?q?i?1nd?T?T()??Q? （3）
??dt?q?q???是广义速度， Q?是对应于广义坐标的广义力。 式中T 是质点系的动能，qd?L?L()??O （4） 3 保守体系的拉格朗日方程1：
?dt?q??q?2 一般形式的拉格朗日方程：
式中 （L = T – V ） 称为拉格朗日函数，V 是势能。 4 保守体系的拉格朗日方程2：
d?L?L()??Q? （5）
?dt?q??q?式中Q?是非保守主动力的广义力。
问题：方程（1）是动力学的普遍方程，为什么会要用（2）？ 问题：方程（2）已可以求解，为什么还会再找出方程（3）？ 问题：说明方程（4）与（5）的区别。 四、拉格朗日方程与牛顿方程
1 应用拉格朗日方程可使系统的动力学方程的数目减少到最少（拉氏方程：3n –k 个，牛顿方程：3n + k个），可消去全部理想约束力。
2 拉氏方程本身不需进行加速度分析。
3 拉氏方程遵循统一有效的、容易掌握的步骤解题，从而大大简化了复杂质点系 动力学问题的分析和求解过程，提供了用广义坐标形式建立质点系动力学的普遍方程。
4 提供了广义坐标形式建立质点动力学方程的普遍方法，既便于掌握，又不易出 错，而且 因为是能量表达式，因而可以推广至其他学科。
5 值得指出的是拉氏方程中各项物理意义不如牛顿动力学方程那么明显；不能用 该方程求解理想约束反例；对于单个物体或简单系统的动力学问题有时不如牛顿力学 求解方便，因此到底怎样解决具体问题，由具体问题而定，不能一概而论。
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五、习题
1 用拉格朗日方程解题步骤
ⅰ一般取整个系统为研究对象，分析研究对象的约束性质，确定自由度数目，并 适当选取广义坐标
ii 运动分析，用广义坐标、广义速度等表示系统动能
iii 分析作用在系统上的主动力，并计算广义力。当主动力均为有势力时，应 以广义坐标表示系统动能有时还要计算非保守主动力的广义力
ⅳ 将动能、拉氏函数、广义力带入相应的拉氏方程 v 根据相应的拉格朗日方程建立质点系的运动微分方程
vi 有时还要求解微分方程或微分方程组建立辅助方程，求出所需运动和力讨论 和分析所得结果
2 用拉格朗日方程解题注意事项 ⅰ 分清楚系统与外界
ⅱ 体系的动能、拉氏函数必须用广义坐标表示法可求解 3 习题
例1：有一个质点在外力作用下在空间运动，用拉氏方程找出其运动规律。 例2：设一个质点在外力作用下作平面运动，其动能为 1m(x?2?y?2) ，用拉格
2朗日函数在极坐标分析其运动规律（作业变三维）。 例3：一个质量为m 的质点在平面上运动，不采用极坐标r 、而用r 、sin?? ，为广义坐标，写出此质点的动能（作业）。
例4：应用拉格朗日方程在球坐标中写出自由质点的运动微分方程。 例5：应用拉格朗日方程在柱坐标中写出自由质点的运动微分方程。
例6：用保守体系的拉格朗日方程求解一维谐振子的动力学规律（作业变三维）。 例7：利用保守体系的拉格朗日方程写出LC振荡电路的电磁振荡方程。 例8：一个质量为 m1 的滑块可于导轨上滑动，与滑轨连接一轻质杆b ，杆的另一端固定一质量为 m2 的质点，连杆可于竖直平面内转动，其位置用与竖直方向夹角 ? 表述。求 m2 做微小振动的运动微分方程和周期（作业）。
以下为06应物第二组题目 1.是非题（对画√，错画×）
? 质量相同的物体其惯性力也相同。（ ）
? 惯性力是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。（ ） ? 凡是运动的质点都具有惯性力。（ ） ? 惯性力是真实力。（ ）
? 平移刚体的惯性力为简化在质心上的一个力。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）
（1）如图所示的平面机构，AC∥BD ，且AC = BD = l，均质杆的AB 质量为m ， 杆长为l ，以角速度 ω和角加速度 α摆动，则杆AB的惯性力向其质心E 简化
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