学怎样实施数学素质教育起到了一定的示范作用。数学教师认为：本课题有能力发展点，个性和创新精神培养点。通过直观演示让学生体验数形结合和特殊到一般思想，领会观察、猜想、证明的思想方法是符合学生的认知规律和心理发展规律的。教者艺术地将死的知识激活，不但能使学生主动建构组合数性质，而且有利于学生体验数学化的过程。本课使学生掌握组合数性质的同时，领会了由其内容反映出来的数学思想和方法，不但巩固了旧知识而且为后继学习作下了伏笔，尤其是课后思维发散性的作业，对培养学生创新意识和能力及科学研究的意识和能力有重要作用。学生认为：本节课具有开放性、探索性的特点，前后联系密切，不但使我们掌握了组合数的性质，领会了处理问题的思想方法，而且使我们开阔了眼界，学会了学习数学的方法。
这节课成功的原因主要有以下几条：
1、做到了右半脑的形象思维与左半脑的逻辑思考相结合。这节课传统的学习活动是纯粹的认知活动，未能引发学生的情趣。这个教学设计看到了传统学习的不完整性，运用图象情境把逻辑与直觉、理智与情感结合起来，使左右脑共同发挥作用，既能使学生在行为和认知方面得到完善，也能使学生在情感上有所体验。我们觉得这个教学设计是符合新课程“促进学生全面、持续、和谐发展”精神的。
2、体现了“数学教学是数学活动的教学”的思想。这节课传统的呈现方式是：给出结果（组合数的性质）→解释结果（组合数性质的结构分析）→证明结果→应用结果。这是关注结果的一元性教育，显然不符合新课程理念。传统做法的另一种呈现方式是：给出几个算式→观察、归纳得出结果→解释结果（组合数性质的结构分析）→证明结果→应用结果。这里虽关注了知识发生的过程，比第一种呈现方式多了一个阶段，即发现活动，但仍是一种认知行为，不能引发学生的情趣活动，我们觉得也是不完整的。这个设计的呈现方式是：创设情境→独立探究→合作交流→总结反思。我们觉得这种教学设计不但让学生经历了知识发生与发展的过程，而且能使学生感受“观察——猜想——证明”的思想方法，也能使学生在探究的过程中培养科学的态度与创新精神，体味到数学的魅力。
3、实践了课内外结合。这节课传统的做法在课前没有安排“先行组织者”，课后没有 向学生提出拓展性问题。我们觉得在学生学习方式没有根本转变的情况下，仅用课内几分钟时间，要求学生领悟数学思想方法，懂得数学价值，升华情感，对大多数学生来说可能要求太高，有效的办法可能是课内外结合。课前向学生布置相关的学习任务，使学生有足够的思考时间，课后提出一些拓展性问题，使学生对知识的认识更深刻。其实，许多数学课的课前或课后，都可以让学生走出课堂，走上社会，综合运用调查、访问、查找资料等多种方法、手段了解数学与自然、社会的关系。课内外结合，有利于整合教学内容（不同领域内容的整合、数学与其它学科知识的整合、知识与情境的整合、知识与方法的整合、知识与价值的整合），有助于学生领悟数学不是一堆孤立技巧和任意法则的集合，有利于学生对数学内在本质的认识，有利于增强学生用数学的意识，也有利于将形式化数学的学术形态转化为易于学生接受的教育形态。
4、渗透了研究性学习的思想。研究性学习一般用于专题学习，我们觉得将研究性学习的思想渗透在课堂教学也有其生命力，它的价值在于：能保持独立的探究兴趣；能丰富学习和探究的体验；能养成合作与分享的个性品质；能增进独立思考的能力；能建立合理的知识结构；能养成尊重事实的科学态度。
作者简介
邬云德，男，1956年生，浙江奉化人。特级教师，中共党员，毕业于浙江师范大学数学系，现任奉化市教科所所长，教师进修学校副校长，中学高级教师。从事数学教育与研究工作二十余年，在《高中数学复习课中对问题系列设计的探索》、《一次关于打好双基的测试调查》等论文分别发表在《数学通报》、《数学教育学报》等刊物上。
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案例7 二项式定理复习课
一．教案描述
教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。
1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例
题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。 例1、求x(2?3x)的展开式中含x5的项. 解：x2C6323(3x)3?4320x5
例2、求(1?2x)?(1?3x)展开式中前三项之和. 解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。
(1?2x)?(1?3x)?[1?5?2x?10?(?2x)??][1?4?3x?6?(3x)??]
2 ?(1?10x?40x??)(1?12x?54x??)?1?2x?26x??。
2654542222 展开式前三项之和为1?2x?26x2. 例3、求(2x?3x?1)展开式中x项.
解：若将(2x?3x?1)化为(2x?1)(x?1)来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意
到2x2与x项无关，可转化为求(?3x?1)展开式中x项，即C87(?3x)??24x，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。
2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例
题和习题可逐步加深。
1n?12n?2n?14?Cn4???Cn4?1； 例4、求值(1)4n?Cn2828888122nn?2Cn???(?2)Cn. (2)1?2Cnn解：(1)原式即为(4?1)的展开式，?原式?5.
n(2)注意符号问题，原式?(1?2)?(?1).
例5、设函数f(x)?1?5x?10x?10x?5x?x.求f(x)的反函数f解：如果f(x)的表达式中第一项1改为-1，则为(?1?x)的展开式.
52345?1nn(x).
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?f(x)?(?1?x)?2. 易得f5?1(x)?1?5x?2 (x?R)
3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有－定的
分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。 例6、求(x2?1x2?2)展开式中的常数项.
1x23解：一般有两种变形方法，其一变形为[(x2?其常数项即为第四项T4??C63??20.
)?2]，其二变形为(x?31x).后者较简，
6例7、设1?x?x2?x3???x16?x17?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a17(x?1)17,
求a2.
解：为了比较系数，将左式变形为1?[(x?1)?1]?[(x?1)?1]???[(x?1)?1].再展
12153?C4???C17?C18?816. 开之，展开式中(x?1)项的系数即为a2，a2?C20?C32172
4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。 例8、(2?33)100的展开式中含有多少个有理项？
r100?r解：Tr?1?C1002r233,耍使其为有理数，即
100?r2?n，
r3?m (n，m为非负整数).
96共17个. 得r?2(50?n)，且r?3m. ?r是6的倍数,可取r?0，6，12,?，11n例9、设(3x3?x2)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t?h?272，试求展开式中x2项的系数.
nnnn解：此题应先定n，令x?1,得t?4.而h?2.?4?2?272.得2n?16，?n?4.
114?r?Tr?1?C4(3x3)r(x2)由
r4?r3?r2?2得r?4.?x项系数为C43240?1
5、会取值. 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这
一基本思维方法的训练. 例10、求(x?2y)(2x?y)(x?y)展开式中各项系数的和.
65426解：设原式?a0x?a1xy?a2xy???a6y.令x?1，y?1，
23得a0?a1?a2???a6?216.
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在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题 例11、求(153x?y)15展开式中所有无理系数之和.
解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：
(153x)15?3x15，(?y)15??y15.?有理系数之和为3?(?1)?2.令x?y?1，得展开
式各项系数之和为(153?1)15.?展开式中所有无理系数之和为(153?1)15?2. 例12、设(1?x?x2)n?a0?a1x???a2nx2n.求a0?a2?a4???a2n的值. 解：令x?1，得a0?a1?a2???a2n?3n.令x??1，得a0?a1?a2???a2n?1.
3?12n两式相加得a0?a2?a4???a2n?在取值过程中，要培养学生观察能力
.
例13、设(1?2x)100?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a100(x?1)100. 求a1?a3?a5???a99的值
解：令x?2，得a0?a1?a2???a100?5100.令x?0，得a0?a1?a2???a100?1.
5100两式相减，得a1?a3???a99??12.
6、会构造. 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数
而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。 例14、证明下列各式
12n?1n?1nnn?9Cn???3Cn?3Cn?4. (1)1?3Cn1222n2n)?(Cn)???(Cn)?C2n. (2)(Cn0)2?(Cn1n?12n?22nnab?Cnab???Cnb. 证：(1)构造二项展开式 (a?b)n?Cn0an?Cnn122nn令a?1，b?3得 (1?3)?1?Cn?3?Cn?3???Cn?3
12n?1n?1nnn即1?3Cn?9Cn???3Cn?3Cn?4.
(2)构造恒等式 (1?x)?(1?x)?(1?x)nn2n.
n0n1n?12n?2n0n 两边含x项的系数相等，即Cn?Cn?CnCn?Cn?Cn???Cn?Cn?C2n
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≧Cnm?Cnn?m， 0?m?n
1222nnn?(Cn0)2?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.
7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等式和三角的
综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。 例15、若实数x，y满足x?y?1，求证：x5?y5?证：令x?12??,y?12??,则x511612
??)?5?y5?(12??)?(5116?52?2?5?4?116.
例16、已知等差数列{an}及等比数列{bn}中，a1?b1，a2?b2，且这两个数列都是递增
的正项数列，求证：当n?2时，an?bn
证：设 a1?b1?a，a2?b2?b, 则an?a?(n?1)(b?a),
bn?a(ba)n?1?a(n?1a?b?aa)n?1 ?a(1?b?aab?aa)n?1?a[1?Cn?11b?aa?Cn?1(2b?aa)
2 ???(b?aa)]?a[1?(n?1)?]?a?(n?1)(b?a)?an
利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。
二．教案评析
通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。
二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。
作者简历
陈定生，1941年生，1964年毕业于浙江大学数学力学系，中学数学高级教师。历任舟山中学数学教研组长、教务主任、副校长、校长等职。长期从事中学教育工作，数学教育中注重能力培养、思维优化和数学思想方法的渗透。多年来致力于教育研究，在全国各数学刊物上发表论文数十篇，并参编数学参考书。1990年评为特级教师，1995年获全国教育系统劳动模范称号，1998年评为浙江省首届功勋教师。
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