16
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝22＝
1(a＋b＋c)；n＝2，得61(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： 2?a?b?c?24?a?3??4a?2b?c?44,解得??b?11， ?9a?3b?C?70?c?10??222于是对n＝1、2、3，等式1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝
n(n?1)2(3n＋11n＋10)122成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＝10)；
22k(k?1)2(3k＋11k＋12k(k?1)2当n＝k＋1时，1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k
12k(k?1)(k?1)(k?2)22＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝
1212(k?1)(k?2)22（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，
122222也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝3222233322n＋2n＋n得Sn＝1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…
2233322n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)n2(n?1)22＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2〓＋＝(3n
122642＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ? 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
16
17
4(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） ab??a?b?1?0要使用均值不等式，则?
15a?ax?7b?bx?x?31解得：a＝， b＝ ， x＝3 。
4415216415x213644?4364从而V＝(－)(－x)x≤()＝〓27＝576。
34443343设V＝
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝
344(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7aabab－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，
本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝logax的x∈[2,+≦)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a>1且a≠1 B. 02或
220
22. 方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。
A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数y＝sin2x＋a〃cos2x的图像关于直线x＝－π对称，那么a＝_____。
822A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
012n4. 满足Cn＋1〃Cn＋2〃Cn＋…＋n〃Cn<500的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－1n , 则所有项的和等于_____。
2A. －1 B. 1 C. 1 D.与a有关
226. (1＋kx)＝b0＋b1x＋b2x＋…＋b9x，若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1，则k＝______。
7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
92917
18
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP
5x2y24. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离
2259为_____。
75 D. 3 4T5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。
2TA. T B. 0 C. D. 不能确定
2A. 8 C. 7.5 C.
18
19
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得a2?22<5，选A；
|PF左|44小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；
552TTT5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；
2226小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3z－4，求w的三角形式； ② 如果
2z2?az?b＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理） 2z?z?1【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3z－4＝(1＋ｉ)＋3(1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是2（cos
225?5?＋ｉsin）； 44z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z＝1＋ｉ，有2＝＝＝(a＋2)
iz?z?1(1?i)2?(1?i)?1－(a＋b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
?a?2?1根据复数相等的定义，得：?，
?(a?b)??1??a??1解得?。
b?2?【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的
定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log
3n22f(x)的定义域，
判定在(
2,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。
n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得：? nc?1?f(4)??4?4c??252?? ? f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0 419 20 3设 2 221)－f(x 2)＝－x 41+x 1-（-x 42+x 2） =(x1-x2)[1-(x1+x2)( x1+x2)], 34422≧ x1+x2>32， x1+x2> ? (x1+x2)( x1+x2)〉32〓＝1 2232? f(x1)－f(x2)>0即f(x)在(,1)上是减函数 2322≧ <1 ? y＝log2f(x) 在(,1)上是增函数。 222232【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断， A’ A 一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运 D 用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 C’ C O H ① 证明：AB’∥平面DBC’； ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全 B’ B 国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行 平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ≧ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ? 四边形B’BCC’是矩形 ? O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ? AB’∥OD ? AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ? DH⊥平面BC’C ≧ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ? BC’⊥OD ? BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 3113设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； 244432Rt△BOH中，OH＝BH〓EH＝， 163? OH＝＝DH ?∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。 20