二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）
[重点，难点解析]
1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:
式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且
2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性： ②增减性和最大值:
先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为
.
；n为奇,
叫二项
, 注意项的系数和二项式系数的区别.
数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为 ③
[例题分析]:
一、与通项有关的一些问题
例1．在的展开式中，指出 1）第4项的二项式系数 2）第4项的系数 3）求常数项
解:展开式的通项 1）
，二项式系数为
；
.
；
为展开式中的第r+1项.
2）由1）知项的系数为
3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为
例2．若
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.
分析:通项为,
1
∵ 前三项的系数为，且成等差，∴
即 解得:n=8.
从而
，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.
例3．1）求
解:
的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.
1）
令6-2r=0, r=3,∴ 常数项为
通项
.
，
2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为
，因而其系数为240.
例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.
10
分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而abc的系数为
例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.
分析:
（法一）展开式中x项是由各二项展开式中含x项合并而形成.因而系数为
3
3
532
.
2
（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式= 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为
二、有关二项式系数
的问题.
.
,
例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.
分析:二项式系数最大的为第5项，
解得:x=1或.
例7．的展开式中系数最大的项为第______项.
分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大，
则
三、赋值法:
例8．已知
解得:， ∴ r=7, 因而第8项系数最大.
1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+……+|a5|
分析:
1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, ∴ (1-0)5=a0, ∴ a0=1.
2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
3
4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5）
因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， ∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.
小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
例9．已知则n=_________.
分析:令x=1，则
由已知， 2n+1-2=62, ∴ 2n+1=64, ∴ n=5.
例10．求
分析:研究其通项
.
n
, 其中b0+b1+b2+……+bn=62,
,
的展开式中有理项系数的和.
显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an 令t=-1， 即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加，解得奇数项系数和
四、逆用公式
.
432
例11．求值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1 解:
例12．求值:
原式=
4
五、应用问题
2n+2
例13．求证:3-8n-9能被64整除.
证明:
能被64整除.
92
例14．91除以100的余数为________.
分析:9192=(90+1)92
∴ 被91100除的余数为81.
小结:若将91整理成(100-9)
92
92
92
随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.
例15．求0.9983的近似值（精确到0.001) 解:
选择题
1．(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（ ）
A、
B、
C、
D、
2．在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（ ）
A、-297
B、-252
C、297
D、207
3．如果展开式(1+x)2·(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
5