式中，c,k分别为外介质中的声速和波数，f?是定义的形态函数，它是壳体材料的弹性参数、密度、球壳内外半径a、b、球壳两侧流体介质的声学参数及声波频率的复杂函数f?
图2.5 充水钢球壳回声信号的形态函数f?随ka的变化
三、散射特性计算方法
解决水中目标的声散射问题可采用以下方法：（1）解析法：即严格求解，用闭合公式表达的方法。利用解析方法求解波动方程主要方法包括分离变量法、波函数展开法等。在求解散射问题的研究中解析法具有不可替代作用，具有计算量少、速度快的特点，常被用来检验数值计算以及近似计算的预报精度。（2）近似法：当解析解不存在或非常难以求解时，在一定的初始条件和边界条件下，可以计算散射声场的近似解或渐近解。常用方法有几何衍射理论（GTD）、基尔霍夫近似、Born近似、Rytov近似等，可解决很多无法求得精确解的问题。但这些方法仍然各有局限性，例如GTD就是一种高频近似。（3）数值法：工程实际问题涉及复杂的目标参数，常需要通过数值计算方法解决。计算声波散射的数值方法主要包括有限元法、边界元法、时域有限差分法、矩阵法等。数值计算可给出实际问题的近似解。
3.1 解析法
当声波传播过程中遇到简单、规则几何形状目标时，可以通过闭合公式计算得到波动方程严格意义的解析解。Morse在理论声学中指出只有在种坐标系下可以应用分离变量求解Helmholtz方程的精确解，如圆柱坐标、椭圆柱坐标、球坐标、二次曲线坐标、抛物线坐标、椭球坐标、扁球体坐标等。早在1951年，FARAN考虑了弹性固体材剪切波影响，首次给出具有各向同性的无限长圆柱体和球体目标散射远场的解析解。求得的散射声压指向性特性与真实目标散射远场测试的结果具有较好的一致性。此后，Liu等对弹性和粘弹性圆柱体的散射声场进行了研究，推导了入射平面P波或SV波所激发散射远场解析解的简洁形式。在圆柱半径与波长之比变化时，通过实验仿真了散射声场指向性图。Léon以水平入射平
面波激发水中弹性椭圆柱，通过连续柱体表面与傅里叶级数表达的关系建立系统方程，得出散射声压的严格解，并得到与实际测量值相吻合的结果。Scharstein等在平面波入射角度和目标尺寸任意的条件下，根据粘性流体的线性方程组，获得了浸没在略微粘滞流体的绝对硬椭圆柱体散射声场的解析解，并给出散射远场方向图。张小凤对有限长弹性柱声散射特性进行了研究，推导出了双基地条件下非入射方向有限长弹性柱声散射特性函数，声波斜入射条件下与Stanton提出的柱方法进行了比较得到了一致的结果。随后研究者陆续得出椭圆孔、柱体壳、球壳等散射声场的严格解。
针对无限长圆柱体目标，忽略目标剪切情况下，解析解。为了便于理解，下面给出流体圆柱散射声场解析解的基本思路和公式。
半径为的圆柱浸没在水中，目标介质的密度和声速为??1,??1，周围水的密度和声速为??0,??0，。入射波采用频率为f的平面声波，声波在目标和水中的波数分别为??1=2????/??1和??0=2????/??0。
平面波是相位为常数且相互平行的无限平面，声波传播过程声压和质点的振速不变且同相位，其传播的方向垂直于波前。若平面声波垂直于柱体轴并沿轴正传播，在圆柱坐标系中，将入射平面波拓展为柱面波的表达式为：
(3-1)
公式（3-1）????为Neumann系数，若m=0时，????=1，若m>0，????=2。????(?)为第一类Bessel函数，该函数描述了柱面波的波动特性。
由于目标存在产生的散射声场为外行柱面波，并且关于θ=0对称，由于水中不存在剪切应力和应变，散射声压可以表示为：
(3-2)
????(?)为第二类Hankel函数，描述柱面外行波的波动特性。
在目标区域求解波动方程，若目标为流体圆柱，则目标内的剪切分量也不存在，可以得到圆柱体内部声压为：
(3-3)
为了计算方程(3-2)和(3-3)中的未知系数????和????，需要三个重要的边界条件：目标表面法向应力连续、法向位移连续、切向应力为0。由于流体目标和水中均不存在剪切应力和应变，第三个条件无需考虑，可以列出以下两个边界方程：
（3-4）
(2)
(3-5)
将(3-1)、(3-2)和(3-3)代入方程(3-4)和(3-5)，得到散射声压公式中的系数????为：
(3-6)
公式中的m阶相位η??以及相关参数求解如下：
解析解是早期求解散射基本方程的主要方法，但是为了得到精确解，需要对 实际散射目标和声场做出很多简化假设，如将水雷、鱼雷、潜艇、鱼类目标假设 为球体、柱体或椭球体、含气泡柱体等规则形状。目标和周围介质假设为具有连 续性、各向同性等。但是实际应用中水下环境相当复杂，目标的形状多种多样， 甚至存在不规则边界、复杂结构和材料等问题，实际声散射问题常难以求解，甚 至根本无法求解，限制了解析方法的适用范围。
3.2 近似法
为有效地提高计算效率，同时能保证计算结果的精确性，几何衍射理论、基 尔霍夫近似、Born近似、Rytov近似等基于估计理论的近似方法应运而生，与数 值分析方法相比运算速度快、稳定性好、精度高。
几何衍射理论最早是由Keller提出来的，该算法理论可应用于形状复杂目标衍射声场的计算。GTD算法的基本思想是把平面波在两种不同材料界面上的反射和折射原理，应用于从点源发出的球面波或线源发出的柱面波在光滑弧形界面上的反射和折射，该方法适用于高频入射波或大尺寸目标（??0??较大）散射的情况。Nussenzveig，Potter利用几何衍射和射线理论分别对非声透球体和雷达散射特性进行了研究。
基尔霍夫近似方法成立的条件是表面局部平面波近似，适合于求解高频入射波的散射问题。汤渭霖教授及其团队在声散射问题进行了广泛研究并取得了显著成果，他们将物理声学方法推广到非绝对反射面的情况；建立声呐目标回波的亮点模型，利用板块元方法对声呐目标回声特性预报；他们研究的目标结构和形状也比较多样化，包括简单和复杂形状目标回声的远场和近场过渡特性、弹性球壳共振声辐射理论、弹性柱壳等声散射研究等。
在Fourier衍射定理中，运用Born近似和Rytov近似求解散射积分方程，有效地解决了目标反演问题。这两种方法都是在弱散射的条件下得到的散射积分方程的近似解。基于一阶Born近似求解散射积分方程，忽略散射声场在总场中的影响，利用入射声场代替总场，推导出目标前后散射声场与目标二维Fourier
谱上一对半圆弧轨迹的比例关系。Rytov近似法将总场用复相位函数??(??)来表示，并令??(??)=??0(??)+????(??), ??0(??)为入射相位函数，而????(??)为总场和入射场之间的复相位差函数。在????(??)?1时，忽略了散射积分中的?????(??)??????(??)项，得到一阶Born近似解。一阶Rytov近似与Born近似所推导出散射声场与目标频谱样本关系是一致的。Stanton一直从事流体目标研究，建立了有限长柱体、拉长的椭球体等模型，将Born近似算法应用在简单形状流体目标散射声场计算，对鲅鱼、鱿鱼、浮游动物等目标散射特性进行了研究。
数值计算法可以有效地应用于非规则形状目标散射特性的近似计算。其中有限元法、边界元法、时域有限差分法、频域有限差分法、T矩阵法是计算数值解理论的主要工具。这些方法广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等问题，在建筑、机械、海洋、航天、生物、声学等工程领域逐步得到发展。
1965年中国冯康发表了《基于变分原理的差分格式》论文，提出以“分整为零，裁弯取直，以简驭繁，化难为易”的新思路，独立于1941年Alexander Hrennikoff和1942年Richard Courant的工作，是标准有限元方法创始的标志。经典的有限元法及其派生方法，包括线弹性有限元、杂交元法、有限条法、非协调元法和拟协调元法等均可应用于求解散射方程。
FEM方法主体思想是将连续目标离散化为有限数量的网格单元，二维空间网格的基本单元可以是三角形、矩形、四边形、以及曲边形等，而三维空间可采用四面体或多面体等对目标进行剖分。有限元法能够适用于各种复杂形状，近似求解连续物体散射问题。利用不同网格单元对1D~3D目标体剖分的有限元法几何描述如图3.1所示。
图3.1 一维到三维有限元法几何描述
基于网格剖分的FEM算法单位网格越小，目标近似程度就越好。要得到精确解，必须构造并且求解高维线性方程组，所以计算成本较高、所需时间长。
边界元法是在有限元法之上发展起来的一种数值方法，可以用于分析任意形状三维目标散射与辐射问题。在我国，杜庆华院士开创了工程中边界元法研究的先河，冯康、何广乾、胡海昌院士将边界元法和相应的计算软件应用于工程实际问题，使得算法在航空、水利、机械等领域的力学研究得到推广，并取得一系列的成果。上世纪70年代，基于Helmholtz边界积分方程的边界元方法得到广泛重视，该方法将积分问题降低至一维，用有限边界元代替连续边界，有效地减少了计算量。相应的修正方法以及边界应力计算奇异积分数值处理的研究，拓展了边界积分方法的适用范围。
有限元法把连续的二维或三维目标内部区域划分单元网格，而边界元法在目标边界上划分单元，针对相同目标两者单元划分对比如图3.2所示。
图3.2 边界元和有限元对比
时域有限差分法(FDTD)是解决复杂目标散射的有效方法之一。1966年K.S.Yee提出FDTD算法完成电磁场模拟的数值计算与分析。随后，FDTD算法在天线辐射、微波电路、光学、声学等很多领域得到广泛应用。在水声问题研究中，用FDTD研究水中目标的回波特性，采用网格剖分方式将场区域离散化。该方法简单直观，精度也比较高，最大的优点是能够直接模拟近场特性，是目前使用比较多的数值计算方法之一。国内外已有许多基于FDTD计算软件和开放式使用的FDTD程序。
FDTD采用网格剖分技术，如图3.3所示，只有采用精细的网格单元才能获得高精度解，而增加网格必然增加计算机内存和计算时间。
图3.4 不同网格精度算法近场散射声压分布模型
FDTD方法容易计算目标散射的近场，但不能直接得到远场值，从近场到远场的变换需要精确的算法支持。另外，用该方法分析问题的时候要考虑目标的几何形状、材质、计算稳定性和吸收边界条件等多方面的因素。在散射声场计算过程中，实际场空间无限大且具有开放的边界，但是计算机内存是有限的，所以FDTD算法只能模拟有限空间。当边界目标不规则时，FDTD算法误差较大。频域有限差分法（FDFD）在频域用差分法来求解方程，与FDTD有类似之处，但无需进行时域的迭代运算，运算时间比FDTD略短。
从上世纪60、70年代以来，T矩阵法就被广泛用于计算电磁场和声场中目标散射问题。该方法主要针对表面光滑，且具有连续的法线方向的目标，是一种分析多重散射的高效率递归算法。运用T矩阵法可以对水下任意形状刚硬体、弹性目标等建立水声散射模型，研究弹性波散射参数与多重散射。利用物体的几何对称性，T矩阵还可以简化计算为Q矩阵。T矩阵法计算较大尺寸物体或多个散射体时，精度不高。
数值计算法方法适用于分析目标散射远场和近场，可以计算任意形状的散射体，但是计算复杂难以给出回波结构的物理解释。水下目标三维散射问题的研究