小学奥数基础教程（六年级） 分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是
独修各需几天？
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5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：
例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流
甲管在何时被关闭？
6.单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、甲、乙、??的顺序轮流工作，每次1时，那么完成这项工作需要多长时间？
7.一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次
件工作，要用多少天才能完成？
分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。
2.甲18天，乙12天。
轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？ 答案与提示练习6 1.360个。
由最后一轮完成的工作量相同，得到
3.7.2时。
解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以单独干李需
练习6
1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成
12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为
有多少个？
需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？
3.加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？
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答：这本故事书共有240页。
分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是
“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。按照常规
5.上午9时。
思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，
6.10时15分。
看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的
7.8.5天。
解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。 甲乙甲乙??甲乙甲乙甲乙??甲乙 甲
现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。 第七讲 巧用单位“1”
在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。
这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以
分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位
共有多少本图书？
分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，
图书室原来共有图书 - 12 -
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乙班有84-48=36（人）。 练习7
分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。
树上原有多少个桃？
剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克？
例5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？ 分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿
答案与提示 练习7 1.35个。
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的
2.60个。
3.64吨。
两班各有多少人？
7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本
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小学奥数基础教程（六年级） 得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。 例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。
解： 7×(x-1)=3×9， x-1=3×9÷7，
4.384千克。
- 14 - 例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。 分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3
女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现
6.男生15人，女生21人。
在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。 在例2中，我们用到了按比例分配的方法。 将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各
个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。 例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量
7.一班45人，二班49人。
比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。
分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，
第八讲 比和比例
比的概念是借助于除法的概念建立的。
两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。
份，女生占2份。由此求出
比值。
表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。 在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。
两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，
甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3， 因为[6，4]=12，所以
5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，
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答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。 在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。 例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率
小学奥数基础教程（六年级） - 15 - 3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是3∶5；如果小强买了这把小刀，那么小
5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取
走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？
有多少学生？
6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他
走完全程用多少时间？
7.某俱乐部男、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。如果甲组中男、女会员的人数之比是3∶1，乙组中男、女会
按比例分配得到
员的人数之比是5∶3，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？ 答案与提示练习8 1.540米。
2
明与小强的钱数之比是9∶11。问：两人原来共有多少钱？
2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。
例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。
分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。 由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到 大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。
以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过
大客车=10×7=70（辆）， 小客车=12×7=84（辆）， 小轿车=33×7=231（辆）。 练习8
1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。
2.一个长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶
3
解：长∶宽∶高=20∶15∶12， 450000÷(20×15×12)=125=5。
长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米）， 高=12×5=60（厘米）。 3.86元。
解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程
3
36+50=86（元）。 4.2640元。
5.甲50只，乙40只，丙48只。
解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2， 甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只）， 丙=2×24=48（只）。 6.12时。
4，体积是450分米。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？
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