小学奥数基础教程（六年级） 四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2个顶点，所以n棱柱共有棱 2n×3÷2=3n（条）。
进一步观察可以发现，n棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的3n－4-1 =（3n－5）条棱不相交。共有3n条棱，所以不相交的棱有 3n×（3n- 5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 3n×（3n-5）÷2（对）。
例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
分析与解：4条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1块；1条直线将圆分为2块，即增加了1块；2条直线时，当2条直线不相交时，增加了1块，当2条直线相交时，增加了2块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。
- 31 -
由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）= 12（个）交点，即增加12部分。因此， 3个三角形最多可以把平面分成 1＋1＋6＋12= 20（部分）。
由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n—1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点
3×［（n—l）×2］=6（n—1）（个），能新增加6（n－1）部分。因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是
2＋6×［1＋2＋?＋（n—1）］
再画第3条直线时，应当与前面2条直线都相交，这样又增加了3块（见左下图）；画第4条直线时，应当与前面3条直线都相交，这样又增加了4块（见右下图）。所以4条直线最多将一个圆分成1＋1＋2＋3＋4=11（块）。
当n=10时，可分成2＋3×10×（10—1）=272（部分）。 练习16
1.求12边形的内角和。
2.五边形内有8个点。以五边形的5个顶点和这8个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 3.已知n棱柱有14个顶点，那么，它有多少条棱？ 4.n条直线最多有多少个交点？
5.6条直线与2个圆最多形成多少个交点？
由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1）条直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最多将圆分成 1＋（1＋2＋3＋?＋n） =1＋n（n+1）÷2（块）。 当n=100时，可分成
1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。
例5 用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？
分析与解：平面本身是1部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分。两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。
6.两个四边形最多把平面分成几部分？ 答案与提示练习16 1.1800°。 2.19个。
提示：与例2类似可得5+2×（8-1）=19（个）。 3.21条棱。提示：n棱柱有2n个顶点，3n条棱。 4.n（n-1）÷2。
解：1+2+3+?+（n-1）=n（n-1）÷2。 5.41个。
解：6条直线有交点6×（6-1）÷2=15（个），每条直线与两个圆各有2个交点，两个圆之间有2个交点，共有交点15+6×4+2=41（个）。 6.10部分。
提示：见右图。与例5类似，当画第n（n≥2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各2条边相交，共可产生交点 - 31 -
小学奥数基础教程（六年级）
- 32 - 例3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都
4×[（n-1）×2]=8（n-1）（个），新增加8（n-1）部分。因为1个四边形有2部分，所以n个四边形最多将平面分成2+8×[1+2+?+（n-1）]=2+4n（n-1）（部分）。 第17讲 操作问题
所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
例1 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？ 讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到
是999？
解：不可能。因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。 999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999。 例4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中A格中的数字是几？
分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。因为原题左
这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。 解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。
由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。
例2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：
18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？
分析与解：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大公约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由（A＋12）-12=13解得 A=13。
例5 将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当1～10十个数如下排列时，需交换多少次？ 8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。
分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的数10开始交换，将10交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7，?实施交换，直至按从小到大排列为止。 因为10后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看9，9后面有3个比它小的数，需交换3次，9到了右边第二位，排在10前面；再依次对8，7，6，?实施这样的交换。 10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面有3个比它小的数，我们说9有3个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换 5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。
例6右图是一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色：
如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。 - 32 -
小学奥数基础教程（六年级） 这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？
- 33 - 7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？
分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过4×5=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少2；右下图中，A与2个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而5×6方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。
答案与提示 练习17 1.106。
提示：操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1。经过14次操作，剩下的一个数是 （1+2+?+15）-14=106。 2.2次。
提示：若写的是奇数，则只需1次操作；若写的是大于2的偶数，则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2。 3.51。
提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4.758。
练习17
1.黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？ 2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？
3.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？
4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是 6×2=6×2=768。 5.4次。
提示：将各次操作表示如下：
（1，1，1，1，1，1）—→（0，3，1，1，1，0）—→（2，2，1，1，0，0）—→（4，1，1，0，0，0）—→（6，0，0，0，0，0）。 6.6次；42次。
提示：与例5类似，当十个数按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列时，交换的次数最少，要交换6次；当十个数按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列时，交换的次数最多，要交换42次。 7.不能。
解：要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。 因为（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。 注：m，n可以是0或负数。 第18讲 取整计算
5.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？
6.将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？
得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［ ］： - 33 -
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做
8-1
7
小学奥数基础教程（六年级） ［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。
- 34 - 分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。用例3的方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之
与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a； （2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］； （4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（ 5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1计算［13÷［π］×4］。 解：［13÷［π］×4］ ［13÷3×4］
差即为所求。
例5求下式约简后的分母：
分析与解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2×3。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。因为
3=729＜1000＜3＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。
6
7
500
500
例2 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有
例3 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。
与分母约分后，分母还剩两个因子3。
所以，约简后的分母是9。
注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。因为式中的分子都是1000，分母依次是3，3，3，?后面一个
都被重复计算了，应当减去。另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上
是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。于是得到
333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。
在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。
例6 在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？ 1×2×3×?×99×100＝12n×M。
例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？
- 34 -
2
3
小学奥数基础教程（六年级） 分析与解：因为12=2×3，所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”出多少个12，问题就解决了。与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有
K=330-115=215。
=50＋25＋12＋6＋3＋1=97（个）；
7.72。
解：1～100中因子2的个数为
1～2000中因子7的个数为
2
- 35 -
因为97个因子2与48个因子3最多可以“凑”出48个12，所以n最大是48。 练习18
分子中有97个因子2和48个因子3，而分母中有100
2.请给出三个数a，b，c，使满足：
［a］＋［b］=［a＋b］，［a］＋［c］＜［a＋c］。 3.在1000～2000中，有多少个数是8的倍数？ 4.500以内有多少个数能被3或者能被5整除？ 5.在 10000以内，既不是 2也不是 3也不是 5的倍数的数有多少个？
6.K是自然数，且下式是整数，求K的最大值。
个因子2和50个因子3，所以约简后的分母有3个因子2和2个因子3，是2×3=72。 第19讲 近似值与估算
在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。
7.求下式约简后的分母：
用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的
取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：
答案与提示 练习18 1.55。
2.例如，a=1.4，b=1.5，c=1.6。 3.126个。
（1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964?，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。
（2）去尾法。把尾数全部舍去。例如：7.3964?，截取到
4.233个。
千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。 （3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如：7.3964?，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。
5.2666个。
表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。 例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一
=5000+3333+2000-1666-1000-666+333=7334， 10000-7334=2666（个）。 6.215。
解：1～699中因子7的个数为
- 35 -
位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？ 分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85≤平均值
3
2
因子3的个数为