15．（2012武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
考点：反比例函数综合题。
解答：解：连DC，如图， ∵AE=3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1， ∴△ADC的面积为4， 设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a， 而点D为OB的中点， ∴BD=OD=b， ∵S
梯形OBAC
=S△ABO+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b， ∴ab=
，
把A（a，b）代入双曲线y=， ∴k=ab=故答案为
． ．
16．（2012武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．
考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
解答：解：
当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小， AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=， ∵∠BOA=∠AC′O=90°， ∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°， ∴∠BOC′=∠OAC′， tan∠BOC=
=
，
随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°， ∴tan∠BOC≥故答案为：≥
， ．
三．解答题（共9小题） 17．（2012武汉）解方程：考点：解分式方程。
解答：解：方程两边都乘以3x（x+5）得， 6x=x+5，
解得x=1，
检验：当x=1时，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0， 所以x=1是方程的根，
因此，原分式方程的解是x=1． 18．（2012武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（﹣1，1），求不等式kx+3＜0的解集．
考点：一次函数与一元一次不等式。
解答：解：如图，∵将（﹣1，1）代入y=kx+3得1=﹣k+3，
．
∴k=2， 即y=2x+3， 当y=0时，x=﹣，
即与x轴的交点坐标是（﹣，0），
由图象可知：不等式kx+3＜0的解集是x＜﹣．
19．（2012武汉）如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
考点：全等三角形的判定与性质。
解答：证明：∵∠DCA=∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB， ∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB， ∴DE=AB．
20．（2012武汉）一个口袋中有4个相同的小球，分别与写有字母A，B，C，D，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．
（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； （2）求两次抽出的球上字母相同的概率． 考点：列表法与树状图法。
解答：解：（1）如图所示：
则共有16种等可能的结果；
（2）由树形图可以看出两次字母相同的概率为
=．
21．（2012武汉）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2． （1）画出线段A1B1，A2B2；
（2）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
考点：作图-旋转变换；弧长的计算。
解答：解：（1）所作图形如下：
（2）由图形可得：AA1=
，
=
+
． =
，
故点A经过A1到达A2的路径长为：
22．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。
解答：（1）解：作直径CD，连接BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，∠A=∠D， ∵BC=4，sin∠A=， ∴sin∠D=∴CD=5，
答：三角形ABC外接圆的直径是5．
（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E， ∵AB=BC=4，I为△ABC内心， ∴BF⊥AC，AF=CF， ∵sin∠A==∴BF=
，
，
， =，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=AC=2AF=
，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC， ∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积， ∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF， 即4×R+4×R+∴R=， 在△AIF中，AF=
，IF=，由勾股定理得：AI=
．
×R=
×
，