勾股定理教学设计
常德市临澧县第三中学 周慧芳
教材：义务教育教科书《数学》八年级下册（湖南教育出版社）
教学任务 教材勾股定理既是直角三角形性质的延拓，又是学生后续学习解直角三角形、圆、三角函数乃至内容高中立体几何、解析几何的基础，对初中学生的学习起着承上启下的作用。 分析 过程与方法目标 ㈠ 创 设 情 境 情感与态度目标 知识与技能目标 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；会初步运用勾股定理进行简单的计算。 在探索及应用勾股定理的过程中，经历“观察——猜想——证明——归纳——应用”的数学探究过程，体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。 通过实验，让学生感受到数学所具有的探索性和创造性，激发学生探究热情，培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解，增强民族自豪感，激发学习热情。 教学目标重点 勾股定理的探索与简单应用 难点 用拼图的方法证明勾股定理. 教学策略与选择分析 学习者特征分析 在教法上，我遵循教师为主导、学生为主体、共同参与为主线的教学理念，以“问题教学法”“实验教学法”层层递进，引导学生参与探究，以此突出重点。借助几何画板以“动画演示法”展示形象直观的动态图形，贯穿数形结合的思想方法，以此突破难点。 从构建主义角度看，数学学习是学生自己构建数学知识的活动。因此在学法指导上，让学生以“独立思考，自主探究，合作交流”的学习模式，在积极活动中感悟知识的生成、发展、变化。 八年级的学生在数学的学习过程中已经开始由形象思维向抽象思维过度，具备一定的观察、试验、演算、归纳、推理、证明能力与自主探究和合作交流能力。在本节课以前，学生已经学习了有关直角三角形的一些知识及用割补法求面积的数学思维，但是对利用面积来探求数式运算规律的方法还不太熟悉。 多媒体课件、有电子白板的教室 4个全等的直角三角形 教学内容 创设情境 1、欣赏《美丽的勾股树》和“弦图” 图1 设计意图 几何画板课件的动态展示，足以让学生震撼。创设的“美丽”却又“神秘”情境，能充分地调动不同层次学生的“有意识注意”及积极主动性，激发他们的学习愿望和参与动机，体验“数学的美” 教学准备 教学环境及资源准备 学具 教学过程设计 教学环节 图2 引 入 新 知 ㈡ 测 量 实 验 猜 测 新 知 图1、图2（弦图）这两个图形中蕴涵着反应自然界规律的一条重要结论，他历史悠久，在数学的发展中起着重要的作用，现实中也有着广泛的应用，这就是我们今天要探究的内容：勾股定理 1. 探索 活动一 在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，∠C=90°，使其两直角边分别为a=3,b=4，测量斜边c的长度。 活动二 分别以Rt△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S1、S2、S3之间有什么关系呢？ 引导学生先画图，由画图过程去体会正方形S3的计算方法（割补法）,然后请学生来表述。 弦图再次让学生经历和感受“生活处处是数学”。 借助网格引导学生观察图形的数量关系。学生可以很直观地得到结论。分解了难点。 借助图形的面积探索，用几何画板验证数学结论，在直观式的具体活动中猜想勾股定理。体会数形结合的思想。 通过动手实验，培养学生“由特殊到一般，由观察到猜测”的数学思维和探究方法，培养学生观察问题，发现规律的能力与合作交流的能力。 222学生回答：S1+S2=S3，即a?b?c 活动三 问题1： 对于任意的直角三角形，这个结论成立吗？ 《用几何画板验证猜想》 ?ACB = 90.00?S1的面积 = 11.85 厘米2S2的面积 = 6.03 厘米2S3的面积 = 17.88 厘米2S1的面积+S2的面积 = 17.88 厘米2S 1 的面积+ S 2 的面积 S 3 的面积17.88 厘米 2 7.88 1 厘米 2S1bAcCS2aBS3 继续实验，用几何画板验证猜想： 问题2：对于斜三角形，这个结论成立吗？ 《用几何画板验证猜想》 ?CAB = 29.60??CBA = 35.87??ACB = 114.54?S 1 的面积+ S 2 的面积S 3 的面积2 5.03 厘米7.08 厘米 2AS1bCS2caBS3B'A' 2. 观察实验结果，猜想： 分析：学生从实验结果不难发现，两直角边的平方和恰好等于斜边的平方，由此猜测a?b?c，即勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. 222a2?b2?c2 ㈢ 拼 图 探 究 3. 验证 活动四 （一）拼图实验 步骤1 剪出四个全等的（如下图）直角三角形， 其中两直角边分别为a、b且b＞a，斜边为c. 拼图实验让学生亲身体验图形的形成过程，形象而富有启发性，较之于教材中的拼图方法，这个拼图实验的结果更开放，更灵活，能更好地培养学生的发散思维与探究创新精神。 利用电子白板的克隆与任意旋转功能拼图。 对学生作品给予充分的肯定与鼓励，激发学生创作热情。 B a C c b A 提问： 你能用这四个直角三角形拼成一个正方形,并用面积法来验证你的猜想吗？试试看。 （二）运用拼图，验证勾股定理 【小组合作探究】，思考： 问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？ 问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？ 问题3：大正方形由哪几个图形构成？ 问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？ 问题5：分别怎么来表示它们的面积？ 学生用白板展示结果 a b c a a b c c b c b a a b c c b b c a a c a b 拼图1 拼图2 对拼图1： ∵大正方形的边长为c，则面积可以表示为c2 验 证 新 知 ab2也可以表示为 4??(b?a) 利用面积相等法证明直角三角形三边之间存在2 的数量关系的过程，渗透ab22 ?c?4??(b?a)了数形结合的数学思维方2=2ab+b2-2ab+a2 法，也体现了一问多解的=a2+b2 开放性思维，同时注重学∴a2+b2=c2 生独立思考学习习惯的养对拼图2： 成。 培养学生“观察—猜测 大正方形边长为（a+b），则面积为(a?b)2 —证明”的推测性数学思这个大正方形由四个直角三角形和一个小正方形构成，则面维方法。 1 2积等于各个部分面积之和为4?ab?c 2 由两种方法算出的面积相等，得出 1 22 (a?b)?4?ab?c 2 222 化简后得到 a?b?c 4. 归纳总结 由此得到直角三角形的性质定理： 自主归纳，形成能力 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2?b2?c2 我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉利用《勾股史话》 斯定理”，为什么呢？ 对学生进行爱国主义教 （1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）育，激励他们奋发向上． 发现了勾三股四弦五这个规律 （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现 了勾股定理； 介绍一下古今中外对勾股定理的研究。让学生了解我国对勾 股定理的发现比古希腊的毕达哥拉斯还早500多年。 做一做 B 例1、在Rt△ABC中,∠C=90° c a ①若a=3，b=4，则c =_________. ②若c=13，b=5，则a =_________. C A b 归纳： 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长. 公式变形： 师 生 互 动 应 用 新 知 练习遵循学生认知规律，由浅入深，层层递进，及时反馈学生对知识的掌握程度。在夯实基础的同时，通过数形结合法培养学生对知识的灵活运用能力。 a?c2?b2，b?c2?a2，c?a2?b2 抢答练习： 1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°. （1） 已知a = 25，b = 15，求c； （2） 已知a = 5，c = 9，求b； （3） 已知b = 5，c=15，求a. 2、在一个直角三角形中有两边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究） 包含下面两种情况： B B ？ 实时评价，激发学生的学习兴趣 培养学生的分类讨论思想。 3 C 3 A C 4 ? A 例2、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm， ①你能算出BC边上的高AD的长吗？ ②△ABC的面积是多少？ 4 ㈤ 小 结 拓 展 内 化 新 知 一、课堂小结 本节课我们学到了什么？ 你还有哪些疑惑呢？ 二、拓展思考 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm,则正方形A，B， 通过对知识和能力两方面的交流小结，有利于知识系统化，形成知识框架。也便于培养学生回顾反思的良好学习习惯。 拓展题主要考察学生 为学生课外探究勾股树的2C，D的面积之和为_________cm。 奥秘奠定基础。 ㈥ 分 层 作 业 巩 固 新 知 基础题（必做） 教材16页习题1.2A组1、4题 延伸题（选做） 1、 教材17页习题1.2 B组7，8题 2、 3、 搜集勾股定理古今中外相关历史背景及证明方法. 4、 5、 探索美丽的勾股树的奥秘。 分层作业照顾学生的差异性，因材施教，在夯实基础的同时，使学有余力的同学在数学思维与文化内涵上有进一步的发展和提升。 教学流程
新课程标准的过程式教学要求：目标要学生清楚，过程让学生经历，结论让学生得出，
及规律让学生发现，收获让学生交流。本节课的教学过程遵循主体性原则、开放性原则、兴趣性原则，师生始终处于一种合作交流的互动状态。结合学生的认知规律、构建主义原则及数学探究发现的一般程序，我将教学流程划分为以下六个环节：
创设情境 引入新知 ↓ 测量实验 猜测新知 ↓ 拼图探究 验证新知 ↓ 师生互动 应用新知 ↓ 小结拓展 内化新知 ↓ 分层作业 巩固新知
教学评价设计:
1. 英国教育家斯宾塞提倡：“教学中应尽量鼓励个人发展，应该引导学生自己去探索，自己去推理，自己去发现。”新课程标准更是要求课堂教学中体现学生的主体地位。围绕这个理念，在这节课的设计中，我以培养学生探究能力为中心，坚持数学思想方法和探究方法的渗透，积极鼓励激发学生自己去思考探究。这节课我采用自评，互评，师评相结合的多元化评价方式，尊重学生的个体差异，关注学生的每一个闪光点。对于学生的每一个进步都给予充分的肯定与赞赏，让他们在探究的过程中体会成功的喜悦，激发探究热情。让学生以研究者、探索者的角色出现，通过一系列的数学实验体验知识形成的过程，使课堂成为一个再发展、再创造的过程，真正让学生体会我探究、我快乐、我思考、我成功。 2.信息技术与学科的融合
在信息社会，信息技术与课程的融合必将带来教育者的深刻变化。本课中我充分地利用多媒体教学，为学生创设了生动、直观的数学情景。这些情景具有强列的吸引力，能激发学生的学习欲望。心理学专家研究表明:运动的图形比静止的图形更能引起学生的注意力。在传统教学中，用笔、尺和圆规在纸上或黑板上画出的图形都是静止图形，同时图形一旦画出就被固定下来，失去了一般性。所以其中的数学规律也被掩盖了,呈现给学生的数学知识也只能停留在感性认识上。本节课我通过《几何画板》制作的变化的《美丽的勾股树》引入，激发学生强烈的好奇心，用几何画板的度量和计算功能验证学生的猜想---勾股定理和PPT动画演示拼图程和结果，起到了传统教学无法达到的效果，突破了教学的难点。