lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)，
{lnL(p)}??628???0?12p2?14p?3?0； p1?p1?2pp?17?137?137?13，因为0?p?，所以p?舍去，所以? p??0.2828。
2121212??x??1,0?x?119. 设总体X的概率密度为f(x,?)??，其中??0的未知参数，
otherwise?0,（1）求参数?的矩估计量；（2）求参数?的X1,X2,?Xn是来自总体的一个样本，最大似然估计量 。
解：（1）EX??xf(x)dx??x?x??1dx???0??1???1?X，
于是未知参数?的矩估计量为??n?X。 1?X（2）构造似然函数L(?)??f(x,?)??x1i?1??1??x2??1???xn??1??n(x1?xn)??1；
取对数：lnL(?)?nln??(??1)ln(x1?xn)?nln??(??1)?lnxi；
i?1ndlnL(?)nn???令???lnxi?0??d??i?1n?lnxi?1n，
i即未知参数?的最大似然估计值为????n?lnxi?1n。
i20．设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1，X2，X3，...，Xn为其样本，试求： （1）?,?2的矩估计量；
（2）若?2=4，n多大时方能使?的90%的置信区间的长度不超过1？(?0.05?1.65)
解：（1）由矩估计法知
??X?EX?X???X?????n?1?21n2??2?21n2222 ?EX?X????X??X?X???iii???ni?1ni?1ni?1???（2）记关于?的置信区间长度为L
L?(X?u?2?n）—(X?u?2?n）=2u?2?n 当?=0.1时，
L?2?1.65?2?1?n?(2?2?1.65)2,即n?44。 n21．从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:厘米)为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11.
假设钉子的长度X服从正态分布N(?,0.012),求总体均值?的置信度为90%的置信区间。 (保留到小数后四位u0.025?1.96,解：x?2.215,n?16,1???0.9???0.1,??0.01 所以?的置信度为90%的置信区间为：
(x????2u0.05?1.645）
?n)?(2.215?1.645?0.01)?(2.2109,2.2191)。 1622．某大学数学测验，抽得20个学生的平均分数为x?72，样本方差s2?16， 假设分数X服从正态分布N(?,?2)，求?2的置信度为98%的置信区间。（保留到小数后四位）
（附：?20.01(19)?36.191,?20.99(19)?7.633） 解：由题意，?2的置信度为98%的置信区间为：
???(n?1)s2(n?1)s2??19?1619?16??。 ,2,,39.8271?2??????8.399936.1917.633?(n?1)?(n?1)??????1?2?2?23. 要求一种元件的使用寿命为1000小时。今从一批这种元件中随机抽取25
件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差??100小时的正态分布，试在显著性水平??0.05下确定这批元件是否合格？ （附：
u??1.96）
2解：假设H0：??1000，H1：??1000；n?25,x?950,??100,?0?1000； 统计量：U?X??0?/n~N?0,1?，u?x??0950?1000??2.5?1.96,
?/n100/25所以，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
24．设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。 t0.05(35)?1.6896,t0.025(35)?2.0301； t0.05(36)?1.6883,t0.025(36)?2.0281
解：已知n?36,x?66.5,s?15,1???0.95,?0?70 假设H0:?0?70；H1:?0?70 统计量：T?X??0~t?n?1? S/n所以t?x??066.5?70??1.4?t?(n?1)?t0.025(35)?2.0301， s152n36所以接受假设，即认为在显著性水平下全体考生平均成绩为70分。
25. 正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。 (1) 取? =0.05，是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。 (2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。 （附：u??u0.025?1.96,t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281）
2解：（1）假设H0:??72；H1:??72;?2末知，T?X??0~t(n?1)
S/n ??0.05,x?67.4,n?10,s?5.929，t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622
2 t?x??067.4?72??2.4534?2.2622， s/n5.929/10所以，t?t?(n?1)，故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。
2（2）S?5.929，??0.05,x?67.4,n?10,t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622；?2末知
2 对于给定置信度1???0.95，?的置信区间为：
?????5.9295.929?x?t?,x?t??67.4?2.2622?,67.4?2.2622???????
nn??1010??22=（63.16 , 71.64)，所以,置信度0.95的置信区间为（63.16 , 71.64)。 26.某仪器的测量误差服从N(0,?2)分布， （1）试求关于?2的极大似然估计量；
（2）由于长期的使用，使用者发现该仪器在测量时已经产生了系统误差，但不知道误差的波动性有无改变，以往的经验值?2=2，现记录了仪器的5个测量误差值分别为：3，-5，3，-2，2。请问该仪器误差的波动性较以往有显著变化吗？（??0.05）
查表：?20.025（4）?11.143,?20.975(4)?0.484；提示：请保留到小数后两位。 解：（1）X~f(x)??2211n?i?12?e2?，L(?2)??f(xi,?2)?()e
2??2??i?1x2nn?xi2nn1n22lnL?????ln(2?)?ln(?)?2?xi
222?i?12?lnL(?2)n1n21n22???xi 令?0??2?4?xi?0????22?2?i?1ni?1（2）建立假设：H0:?2??02?2,H1:?2?2
n?1?S2?222统计量：??，?n?1?0.484,?~?n?1???????n?1??11.143 21?2?022??拒绝域：W???2??2??n?1?or?2??2??n?1??????,0.484???11.143,???
1??22?x?0.2,s?12.7,2n?1?s2????25.4?W 22?0拒绝原假设，所以认为该仪器的测量误差的波动性较以往有显著的变化。