【类型综述】
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
【方法揭秘】
我们先看三个问题：
1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．
图1 图2 图3
如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．
如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
设OC＝m，那么
34?m?． m1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．
【典例分析】
例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
2
图1 图2
例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式； （3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
图1
例4如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的式子表示a； （2）求证：
AD为定值； AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
图1
例5如图1，抛物线y?123，与y轴交于点C，x?x?4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧）
42连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
33例6如图1，抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
84（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三．．．．个时，求直线l的解析式．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
图1
【变式训练】
y1. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在
轴的正半轴上，且OA1?A1A2?1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为 ．
2. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为 ．
3. （2017内蒙古通辽第26题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?2过点A(?2,0)，，与y轴交于点C.
（1）求抛物线y?ax?bx?2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y?ax?bx?2的对称轴上，求?ACD的周长的最小值；
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
222