实数的运算
一、选择题
1. （贵州省毕节市，7，3分）估计6＋1的值在（ ）
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
【答案】B
【逐步提示】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握估算的方法．先找到紧挨6的两个平方数，即可知道
6夹在哪两个正整数之间，进而可知6＋1夹在哪两个正整数之间．
【详细解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜6＜3，所以，3＜6＋1＜4，故选择B.
【解后反思】本题的易错点是所找的夹被开方数的两个正整数不是平方数或不是挨被开方数的两个平方数，得出结果又不作验证致错．
【关键词】实数；无理数的估算
2. （ 河南省，4，3分）下列计算正确的是【 】 （A）8?2?422 （B）??3??6
22（C）3a?2a?a （D）?a3??2?a5
【答案】A
【逐步提示】本题考查了二次根式、乘方、幂的性质等有关的运算，解题的关键是确定是什么运算，掌握乘方的意义、幂的性质和二次根式的化简运算．思路：由二次根式的化简和合并确定A的算式运算结果；由乘方的意义确定B的算式的运算结果；有同类项的定义判断C无法运算；由幂的性质确定D的运算结果. 【详细解答】解：∵8?2?22?2?2
4
2
2，故A正确．
∵（-3）=9，故B错误；∵3a和2a不是同类项，不能合并，故C错误；
326
∵（-3a）=9a,故D错误 ，故选择A .
【解后反思】本题的重点是二次根式、乘方、同类项和幂的性质等有关运算，此类问题容易混淆幂的性质、不能准确把握乘方意义和二次根式的化简．解决乘方、幂和二次根式等的计算问题一般方法：首先明确每一个算式的运算名称，确定这种运算所依据的性质，根据性质进行正确运算. 【关键词】二次根式的化简和合并；乘方意义；同类项；幂的性质. 3. （ 湖南省湘潭市，3，3分）下列运算正确的是（ ） A.3+
2=32 B.（2x2）3=2x5
C. 2a·5b=10ab D.6?32
【答案】C
【逐步提示】本题考查了二次根式的运算、整式的乘法的运算，解题的关键是对二次根式的加、减、乘、除运算法则、整式的乘除法则掌握熟练．解答问题时应利用二次根式的运算法则，整式的乘法法则对逐个选项进行验算后作出选择．
【详细解答】解：选项A，3与2不能合并，错误．选项B，（2x）=4x，错误．选项C，2a·5b=10ab，正确．选项D，6?2
3
6
32，错误，故选择C .
【解后反思】对于这类判断运算是否正确的问题，在求解时往往采用“各个击破”的方法，即对每一选项逐一分析，先判断运算类型，再根据相关运算性质、法则计算后进行判断. 对于幂的有关运算法则： 名称 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 二次根式的加减 二次根式的乘法 二次根式的除法 运算法则 mnm?n同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，即：a?a?a mnm?n同底数幂的相除，底 数不变，指数相减，即：a?a?a mnm?nmn(a)?a?a幂的乘方，底数不变，指数相乘，即： mnpmpnpmpnp(a?b)?(a)?(b)?a?b积的乘方，等于各因数分别乘方的积，即： 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 a?b?ab(a?0,b?0)，并把结果化为最简二次根式 aa（a≥0,b＞0)并把结果化为最简二次根式 ?bb单项式乘以单项式，应把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘以单项式 【关键词】 二次根式的加减；二次根式的乘除；幂的乘方；积的乘方；单项式乘以单项式 4. (湖南省永州市，4，4分)下列运算正确的是( ) A． －a·a=a B．－(a)=a C． x?3
3
22
4
12x? D．(3?2)(3?2)??1 33【答案】D
【逐步提示】本题考查了幂的运算法则，合并同类项，乘法公式，解题的关键在于正确理解这些法则、公式并会运用．解题时根据法则公式逐选项进行判断．
【详细解答】解：选项A中，－a·a=－a ，错误；选项B中，－(a)=－a ，错误；选项C中，x?3
4
22
4
12x?x，33错误；选项D中，(3?2)(3?2)=3－4=－1，正确，故选择 D．
【解后反思】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，只把系数
22
相加减，字母和字母的指数不变；(a+b)(a－b)=a－b．
【关键词】同底数幂的乘法；幂的乘方；合并同类项；平方差公式
5. （江苏省扬州市，1，3分）与-2的乘积为1的数是 ( ) A．2 B．-2 C．
11 D．- 22【答案】D
【逐步提示】本题考查了倒数的概念，解题的关键是理解“乘积为1的两个数互为倒数”，再进行计算． 【详细解答】解：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于-1，故选择D ． 2【解后反思】一个非零数都有自己的倒数，正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数．此类问题容易出错的地方是把相反数与倒数、绝对值混淆． 【关键词】 有理数；有理数的运算；倒数；
3
6.（ 镇江，2,2分）计算：（－2）= . 【答案】－8.
【逐步提示】①本题考查了乘方的意义，解题的关键是正确应用乘方的意义求解．②根据负数的奇数次幂是负数求解．
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【详细解答】解：（－2） =-2=-8，故答案为-8.
【解后反思】 一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数；此类问题容易出错的地方是忽视底数的负号“-”，而得到错误结果． 【关键词】 乘方 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
二、填空题
1. （ 福建福州，14，4分）若二次根式x?1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x?1
【逐步提示】本题考查了二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列关于x的不等式，再求解．
【详细解答】解：若二次根式x?1在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1 ，故答案为x≥﹣1 ． 【解后反思】根据二次根式的意义被开方数必须为非负数，所以要使二次根式a有意义，则必须a≥0, 要使二次根式a无意义，则必须a＜0，列不等式求解． 【关键词】二次根式；
2. （ 河南省，9，3分）计算：(?2)0?38?_________.
【答案】-1
【逐步提示】本题考查了零指数幂和立方根的的相关运算，解题关键是理解零指数幂和立方根的意义．思路：利用任意不为0的数的0次幂都等于1，得（-2）=1；利用立方根的意义可得，38=2然后求差即可.
0
【详细解答】解：（-2） -38=1-2 = -1，故答案为-1 .
0
【解后反思】本题重点和难点是零指数幂和立方根的意义.解题的一般规律是利用实数的零指数幂和立方根的意义和运算规律进行计算
【关键词】零指数幂；立方根.
3. （ 湖北省十堰市，12，3分）计算：|38-4|-（
1-2
）=______________ 2【答案】-2
【逐步提示】本题是一道实数的综合计算题，主要考查立方根的计算、绝对值的计算、负整数指数的计算等，解答此类计算题，要依据各个计算法则逐步完成，不可跨越，否则易出现错误，避免此类问题错误的方法是做两次计算，核实无误后，再填入相应的位置. 【详细解答】解：|38-4|-（
1-21）=|2-4|-=|-2|-4=-2 . 122()2【解后反思】本题中的立方根的计算、绝对值的计算是实数问题中的一个重点题型，但是分数负整数指数的计算是一个难点，容易出现错误，需要注意. 运算规律：实数混合运算的基本思路是：先将包含每个点运算计算出来，再根据实数的运算顺序计算．
【关键词】数的开方；立方根的概念及求法；绝对值；负整数指数幂. 4. 8. （ 湖南省郴州市，9，3分）计算：－1＋4＝ ．
【答案】1
【逐步提示】本题考查的是算术平方根的意义和有理数的加法，求4的算术平方根，就是求一个平方等于4的正数，然后用这个数和－1相加，根据有理数的加法法则计算． 【详细解答】解：原式＝－1＋2＝1． 【解后反思】此类问题容易出错的地方是是把算术平方根定义与平方根定义相混淆．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．一个正数的平方根有两个，且互为相反数．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【关键词】算术平方根 ；有理数的加法；
5. （湖南湘西，3，4分）使代数式x?1有意义的x取值范围是 . 【答案】x≥1
【逐步提示】本题考查了二次根式有意义的条件, 解题的关键是掌握被开方数为非负数．根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，可得关于x的不等式，解不等式即可.
【详细解答】解：由题意得x－1≥0，∴x≥1，故答案为x≥1.
【解后反思】1.对于求代数式或函数关系式中x的取值范围的问题，通常是关于二次根式和分式有意义的条件：
名称 分式 有意义的条件 分式A有意义的条件是B?0 B二次根式 二次根式a有意义的条件是a?0 2.这类问题通常有三种考法，一是单独考查分式的意义，二是单独考查二次根式的意义，三是把两个综合起来考查，往往需要列不等式组求解，本类问题的基本方法都是抓住其有意义的条件求解. 【关键词】二次根式有意义
6.（ 江苏省淮安市，6，3分）估计7?1的值
A．在1和2之间 B． 在2和3之间 C． 在3和4之间 D． 在4和5之间 【答案】C．
【逐步提示】本题考查了二次根式的估值，找出与被开方数相近的两个完全平方数是解题的关键． 小于7的最大的完全平方数是4，大于7而最小的完全平方数是9，然后再开方比较即可． 【详细解答】解：∵4<7<9 ∴4＜7＜9 即2＜7＜3 ∴2+1＜7+1＜3+1 ∴3＜7+1＜4，故选择C．
【解后反思】先判断出与7最接近的两个完全平方数，开方比较后得出7的范围，再利用等式的性质得出结论． 【关键词】二次根式的估值
7. （江苏省南京市，10，2分）比较大小：5-3▲【答案】＜
【逐步提示】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是运用近似数代入估算和逼近法比较大小．因为2<5<3，
5-2．（填“＞”“＜”或“＝”号） 2所以通过计算5-3与
5-2的值进行大小比较即可． 25-25-2>0，5-3＜．故答案为＜． 22【详细解答】解：由于2<5<3，使所以5-3<0，
【解后反思】确定无理数最接近的正整数的问题一般先确定这个无理数在哪两个正整数之间，再用逐步逼近法多取一个数位，从而求解．因为2<（5）<3，或者5≈2．236，所以2<5<3．
2
2
2
【关键词】 实数；实数；无理数的大小比较；估算方法
?1?8. （江苏泰州，7，3分）???等于 ．
?2?【答案】1
【逐步提示】本题主要考查了零指数幂的性质，解题的关键是掌握零指数幂的性质．根据零指数幂的定义知道任何非零数的零次幂都等于1．
【详细解答】解：因为任何非零数的零次幂都是1，故答案为1． 【解后反思】此类问题容易出错的地方是以为答案为0. 【关键词】非零数的零次幂
9.（山东滨州18，4分）下列式子：
01?3?1?22