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浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考
数学（理科）试卷
注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集U?R,集合M??x|y?lg(x2?1)?,N??x|0?x?2?,则N (eUM)?（ ）
A．?x|?2?x?1? 2. 函数
y1B．?x|0?x?1? C．?x|?1?x?1? D．?x|x?1?
f(x)?2|log2x|?|x?y11x1|x的图像为 ( )
y11xy11xOOOO1xA B C D
开始输入a3. 设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ）
A．a??,b//?,??? B．a??,b??,?//? C．a??,b??,?//? D．a??,b//?,???
4. 阅读如图所示的程序框图,若输入a?A．9 B．10 C．11 D．12 5. 已知命题p:?x?(??,0),3?4； 命题q:?x?(0,xx k?1,S?0
S?S?1(2k?1)(2k?1)k?k?19,则输出的k值是（） 19S?a?否是输出k?2),tanx?x 则下列命题中真命题是（ ）
结束 A．p?q B．p?(?q) C．p?(?q) D．(?p)?q
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?x?y?4,?2226．设不等式组?y?x?0表示的平面区域为D．若圆C:(x?1)?(y?1)?r(r?0)不
?x?1?0?经过区域D上的点,则r的取值范围是（ ）
A．[22,25] B．(0,22)C．(0,22)(32,??)
(25,??) D．(0,32)(25,??)
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（ ） A．1 B．
113C．D． 3 2 28. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量
?为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则?的数学期
望E?为（ ） A．19717 B． C．2 D．
939?2x3?1?,x??,1??x?1?x??2??2a?2?a?0?，若存9. 已知函数f(x)??，函数g(x)?asin6??1x?1,x??0,1???6?2???3源:Z§xx§k.Com][来
在x1,x2??0,1?，使得f(x1)?g?x2?成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[,1333] B．[,] 2442C．[,2414] D．[,] 3323?2x?1,(x?0)10.已知函数f(x)=?,把函数g(x)?f(x)?x的零点按从小到大的顺
f(x?1)?1,(x?0)?序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A．an?n(n?1)B．an?n?1 C．an?n(n?1)
2
D．an?2?2
n二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．
11．设a?0，在二项式(a?x)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为 ．
12.在平面直角坐标平面上，OA?(1,4),OB?(?3,1)，且OA与OB在直线l上的射影长度 相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为 ．
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13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___
14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 ___ 个．
15.平面向量a，b，e满足|e|?1，a?e?1，b?e?2，|a?b|?2，则a?b的最小值为 ．
xyx02y02??1，过点P(x0,y0)作一直线与曲线??1相交且仅有一个公共 16.已知3939点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角222π2π或；类比此思想，已知 33x2?1的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的 x0y0?x0?1，过点作一直线与函数y?x倾斜角为__________
17.已知集合M???x,y?y?f?x??，若对于任意?x,y??M，存在?x,y??M，使得
1122x1x2?y1y2?0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①M???x,y?y???1??； ②M???x,y?y?sinx?1?； x?x2③M???x,y?y?logx?； ④M???x,y?y?e?2.
?其中是“垂直对点集”的序号是
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. （本题满分14分）
已知函数f(x)?sin?x (??0)在区间[0,??2?]上单调递增,在区间[,]上单调递减; 333如图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边,且满足
4??cosB?cosCsinB?sinC. ?3sinAcosA(1)证明:b?c?2a
BC(2)若b?c,?AOB??,(0????),OA?2OB?2, 求四边形OACB面积的最大值.
19. （本题满分14分）
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某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式;
(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?
20. （本题满分14分）
在如图所示的几何体中,?ABC是边长为2的正三角形,AE?1,AE?平面ABC, 平面BCD?平面ABC, BD?CD,且BD?CD. (1)若AE?2,求证:AC//平面BDE
(2)若二面角A?DE?B为60°,求AE的长.
21. (本题满分15分)
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0),⊙O:x2?y2?b2, 点A,F分别是椭圆C的左顶
ab点和左焦点, 点F不是O上的点，点P是O上的动点. (1)若P(?1,3),PA是O的切线,求椭圆C的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得不存在,说明理由.
|PA|恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果|PF|
22. (本题满分15分) 设f(x)?lnx．
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1?x)最大值; （1）若??(0,1)，求g(x)??lnx?(1??)ln(（2）已知正数?，?满足????1．求证：?f(x)??f(x)?f(?x??x)；
1212（3）已知xin?0，正数?满足??i?1．证明:
ini?1??lnx?ln??xiiii?1i?1ni(其中i?1,2,?n)．
参考答案:
1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、
??2 14、120 15、5/4 16、或 17、②④
422??18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:
4?3,解得:??,
?32sinB?sinC2-cosB-cosC ??sinAcosA?sinBcosA?sinCcosA?2sinA-cosBsinA-cosCsinA ?sinBcosA?cosBsinA?sinCcosA?cosCsinA?2sinA ?sin(A?B)?sin(A?C)?2sinA
?sinC?sinB?2sinA??b?c?2a
(Ⅱ)因为b?c?2a，b?c,所以a?b?c,所以△ABC为等边三角形
13SOACB?S?OAB?S?ABC?OA?OBsin??AB2
24?sin??3(OA2?OB2-2OA?OBcos?) 453?53, ?2sin(?-)?434?sin?-3cos????2???(0，?),??-?(-，),
333当且仅当?-?3??2即??，535?时取最大值,SOACB的最大值为2?
46?2n?2,n?7?a??5n?719、（1）n
16(),n?8??4