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（2）第10年年初
20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC，BA，BE 的中点M，N，P,连接DM，MN，NP，DP,
E
P
D A C
M N B
[来源:学|科|网]
则MN∥AC,NP∥AE,且NP=1AE?1 2因为BD?CD,BC?2,M为BC的中点, 所以DM?BC,DM?1
又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM?平面ABC 又AE?平面ABC, 所以DM∥AE
所以DM∥NP,且DM?NP,因此四边形DMNP为平行四边形, 所以MN∥DP,所以AC∥DP,又AC?平面BDE,DP?平面BDE, 所以AC∥平面BDE
[来源:学科网](或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE的法向量n1,计算n1?AC?0即证)
E
D N C
M A
B
(Ⅱ)解法一:
过M作MN?ED的延长线于N,连接BN. 因为BC?AM,BC?DM,
所以BC?平面DMAE,ED?平面DMAE 则有BC?ED.
所以ED?平面BMN,BN?平面BMN, 所以ED?BN.
所以?MNB为二面角A?ED?B的平面角,
[来源:Zxxk.Com]
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即?MNB=60?
在Rt?BMN中,BM=1,则MN=12 ,BN=. 33在Rt?MND中,DN=6. 3设AE?h?1,则DE?h2?3,所以NE?h2?3?6,又BE?32?h?1?2?22 2?26?22?2?222在Rt?BNE中,BE?BN?NE,即?h?1??2=? h?3???????3?3???解得h?解法二:
z
E
6,所以AE?6?1
D y A C M B x
由(Ⅰ)知DM?平面ABC,AM?MB, 建立如图所示的空间直角坐标系M?xyz. 设AE?h,则M?0,0,0?,B?1,0,0?,
D?0,0,1?A0,3,0,E0,3,h,
3,h.
??BD???1,0,1?,BE???1,???设平面BDE的法向量n1?(x,y,z)
????x?z?0,?BD?n1?0,则? 所以?
?x?3y?zh?0.????BE?n1?0.令x?1, 所以n1?(1,1?h,1) [来源:Z_xx_k.Com] 3
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又平面ADE的法向量n2?(1,0,0) 所以cos?n1,n2??n1?n2?n1?n2112?12??1?h?32?1 2[来源:Z|xx|k.Com]
解得h?6?1, 即AE?6?1
5?1|PA|1?5x2y2??1e?,?21、（1） （2）1642|PF|222解：（）1g?(x)?
?1??x?（0?x?1）
x1?xx(1?x)当x?(?,1)时，g?(x)?0.即g(x)在(0,?)上递增，在(?,1)?当x?(0,?)时，g?(x)?0，
递减.故当x??时，有gmax(x)?g(?)??ln??(1??)ln(1??).(3分)
则 (2)构造函数F（x）??f(x1)??f(x)?f(?x1??x)??lnx1??lnx?ln(?x1??x)，
??(x1?x)??F?（x）???.易证F(x)在在(0,x1)上递增，在(x1,??)上递减.
x?x1??xx(?x1??x)?当x?x1时，有Fmax(x)?F(x1)??f(x1)??f(x1)?f(?x1??x1)?0.
?(1??)??F(x2)?F(x1),即?f(x1)??f(x2)?f(?x1??x2)?0， 即证?f(x1)??f(x2)?f(?x1??x2) （8分） （3）用数学归纳法证明如下： ① 当n?1,2时，命题显然成立； ② 假设当n?k(k?2,k?N)时，命题成立，即当?1??2????k?1??k?1时， ?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk?ln(?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk).则当n?k?1，即当?1??2????k?1??k??k?1?1时，
?k?1?k?1?2??????1，又假设知
1??k?11??k?11??k?11??k?1?k?1?k?1?2lnx1?lnx2???lnxk?1?lnxk?1??k?11??k?11??k?11??k?1?k?1?k?1?2ln(x1?x2???xk?1?xk)，即 1??k?11??k?11??k?11??k?1?x??2x2????k?1xk?1??kxk?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk?(1??k?1)ln(11)1??k?1?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk??k?1lnxk?1
?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk)??k?1lnxk?1
1??k?1?x??2x2????k?1xk?1??kxk?ln[(1??k?1)11??k?1xk?1]
1??k?1?(1??k?1)ln(
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=?ln(?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk??k?1xk?1). 这说明当n?k?1时，命题也成立.
综上①②知，当xi?0，正数?i满足??i?1时
i?1n??lnx?ln??xiiii?1i?1nni(其中i?1,2,?n) （14分）
（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）
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