引领强者之路
请考生在第22,23, 24三个题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。 22.（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
23.（本小题满分10分） (2011·辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x＝cos φ，???y＝sin φ， (φ为参数)，
??x＝acos φ，曲线C2的参数方程为?(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极?y＝bsin φ，? 轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离π为2，当α＝时，这两个交点重合． 2(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； ππ(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为44A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
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24.（本小题满分10分） 设c＞1，m＝c＋1－c，n＝c－c－1，求证：m＜n.
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2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷
数学 模拟试题（Ⅱ）学生答案
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 【解析】 C 图中阴影部分表示的集合是A∩B，而A＝{x|－3＜x＜0}，B＝{x|x<－1}，故A∩B＝{x|－3 ∴x＝2，综上所述，x＝2或－3. 7. 【解析】 C 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其表面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C. 8. 【解析】 A 如图，设AB所在的直线方程为y＝3 x， 3 8 / 15 引领强者之路 ??y＝3x， 3由?得B点坐标为(12,43)， ??y2＝4x， 1∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×43＝483. 29. 【解析】 D 选项A中函数的最大值小于2，故0＜a＜1，而其周期大于2π，故选项A中图像可以是函数f(x)的图像．选项B中函数的最大值大于2，故a>1，其周期小于2π，故选项B中图像可以是函数f(x)的图像．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应选项C中图像．对于选项D，可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图像中的周期大于2π，故选项D中图像不可能为函数f(x)的图像． 10. 【解析】 D ①函数f(x)为偶函数；②函数周期为1；③点(x＋1，y)，(1－x，y)连线的中点是(1，y)；④y＝f(x＋1)的图像由y＝f(x)左移1个单位得到，y＝f(－x＋1)的图像由y＝f(－x)右移1个单位得到，而y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称，则y＝f(1＋x)与y＝f(1－x)关于y轴对称．故4个命题均为真命题． 11. 【解析】 B 由勾股定理得，AB＝DC＝2，AD＝BC＝3， 1∴PA＝2，∴V＝×6×2＝4. 312. 【解析】 D 由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1.g(x)＝增函数． f(x)aa＝x＋－2a，则g′(x)＝1－2.易知在x∈(1，＋∞)时g′(x)>0，所以g(x)为xxx 第Ⅱ卷 二、填空题 13. 【解析】 ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4， －1)． 2m－n3m＋2n由于ma＋nb与a－2b共线，则有＝， 4－1m1∴n－2m＝12m＋8n，∴＝－. n21 【答案】 － 2 14. 【解析】 如图，输出的点的轨迹是以原点为圆心，以 2为半径的圆周及其内部，面2 π π2π积为；可行域内所有的点构成的轨迹是边长为2的正方形，面积为2.所以概率为＝. 224 9 / 15 引领强者之路 【答案】 π 4 15. 【解析】 设事件A＝“任选一人是女生”，B＝“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P(B|A)． 408由于P(A)＝，P(AB)＝， 1001008PAB1001则P(B|A)＝＝＝. PA405100【答案】 1 516. 【解析】 ∵3an＋1＝Sn(n≥1)，∴3an＝Sn－1(n≥2)． 两式相减，得3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2) 可得an＋14＝(n≥2)， an34∴n≥2时，数列{an}是以a2为首项，为公比的等比数列， 3?4?n－2. ∴n≥2时，an＝a2·?3?1令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1?a2＝， 31?4?n－2∴an＝×(n≥2)， 3?3?1,n?1,??n?214?????,n?2.?3?3??故an＝? 1,n?1,??n?2?1?4???,n?2?3??3?【答案】 ? 三、解答题 1 17. 【解析】 (Ⅰ)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4， 4∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1 (Ⅱ)∵cos C＝， 4 10 / 15