于是(n?2)an?(n?1)an?1?1?ana11?n?1??, ??(4分) n?1n?2n?2n?1从而anaaaaaa?(n?n?1)?(n?1?n?2)???(3?2)?a2n?1n?1n?2n?2n?321故
11111111111?1?(?)?(?)?(?)???(?)?(?)?2?122334n?3n?2n?2n?1n?1an?2n?3(n?3). 于是数列?an?的通项公式为：an?2n?3(n?N?).??(6分)
证：（2）当n?1时， b1?2a1?3?1,当n?2时，由条件得
(2n?1)bn??b1?3b2?5b3???(2n?3)bn?1?(2n?1)bn???b1?3b2?5b3???(2n?3)bn?1???2n?an?3???2n?1an?1?3??2n(2n?3)?2n?1(2n?5)?2n?1(2n?1)?(8分)
n?1从而bn?2. 故数列?bn?是以1为首项，2为公比的等比数列. ??(10分)
解：（3）由题意，得
cn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1?(2?2n?1?3)?(2?2n?1?1)?(2?2n?1?1)???(2?2n?7)?(2?2n?5)?n?1n2n?1??(2?2?3)?(2?2?5)???
2?3n?4?2n?14??(12分)故Tn?c1?c2???cn?3(4?42???4n)?(22?23???2n?1)4n234(4?1)2?(2n?1)????4n?4?2n?3 44?12?1nn
??(14分)?1??1??从而 limTn?lim?1?4??3???????1.n??4nn??2???4????? ??(16分)
注：在解答第（3）小题时，可直接求出Tn.
5、[证明]（1）若ak?bk（k?1,2,?,n），则有ak?n?1?ak，于是ak?当n为正偶数时，n?1为大于1的正奇数，故
n?1．（2分） 2n?1不为正整数， 2因为a1，a2，?，an均为正整数，所以不存在满足ak?bk（k?1,2,?,n）的数列{an}4分 [解]（2）ck?n?(k?1)（k?1,2,?,n）．（6分）
因为ck?(n?1)?k，于是Sn?c1?2c2???ncn?[(n?1)?1]?2[(n?1)?2]???n[(n?1)?n]
111?(1?2???n)(n?1)?(12?22???n2)?n(n?1)2?n(n?1)(2n?1)?n(n?1)(n?2)．（10分）
2661[证明]（3）先证b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．
6222222(1?b1)?(2?b2)???(n?bn)?(1?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)?(b12?b2???bn) ①， 这里，bk?n?1?ak（k?1,2,?,n），因为a1，a2，?，an为从到n按任意次序排列而成，所以b1，
22b2，?，bn为从到n个整数的集合，从而b12?b2???bn=12?22???n2，（12分）
于是由①，得0≤(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2?2(12?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)， 因此，b1?2b2???nbn≤12?22???n2，即b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．（14分） 再证a1?2a2???nan≥Sn．
由bk?n?1?ak，得b1?2b2???nbn?(n?1?a1)?2(n?1?a2)???n(n?1?an)
16n(n?1)2?[1(n?1)?2(n?1)???n(n?1)]?(a1?2a2???nan)??(a1?2a2???nan)16分
21因为b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)，
62n(n?1)1?(a1?2a2???nan)≤n(n?1)(2n?1)， 即
26n(n?1)21n(n?1)(n?2)?n(n?1)(2n?1)?所以a1?2a2???nan≥， 266即a1?2a2???nan≥Sn．（18分）
6、解：（1）n?1时，6a1?a1?3a1?2，且a1?1，解得a1?2
2n?2时，6Sn?an2?3an?2,6Sn?1?an?12?3an?1?2，两式相减得：
6an?an?an?1?3an?3an?1即(an?an?1)(an?an?1?3)?0，?an?an?1?0， ?an?an?1?3，??an?为等差数列，an?3n?1． ???????????4分
（2）bn??22?3n?1,n为偶数，Tn?b1?b2???bn． 3n?1?2,n为奇数当n为偶数时，Tn=(b1+b3+?+bn–1)+(b2+b4+?+bn)
n (5?3n?1)4(1?8)24nn(3n?4), ???(8?1)?1?642634n当n为奇数时，Tn=(b1+b3+?+bn)+(b2+b4+?+bn–1)
n?1(5?3n?4)4(1?8)4(n?1)(3n?1)2???(8n?1?1)?. 1?642634n?1n(3n?4)?4n(8?1)?,n为偶数?634????????????10分 ?Tn??4n?1(n?1)(3n?1)?(8?1)?，n为奇数4?63?2an?123n?2?,n为偶数??an3n?1(3)Cn??, ?an?1?3n?2,n为奇数?23n?1?2an3n?83n?21当n为奇数时，Cn?2?Cn?3n?5?3n?1?3n?5[3n?8?64(3n?2)]?0，
222∴Cn+2 7、解法1：（1）设n个月的余款为an，则 a1?100000?1.2?0.9?3000?105000， a2?100000?1.22?0.92?3000?1.2?0.9?3000?110400， 。。。。。。 a12?100000?1.212?0.912?3000?1.211?0.911???3000， [1?(1.2?0.9)12]?194890（元）， =100000?1.2?0.9?3000?1?1.2?0.91212法2：a1?100000?1.2?0.9?3000?105000， 一般的，an?an?1?1.2?0.9?3000， 构造an?c?1.2?0.9(an?1?c)，c??37500 an?37500?(105000?37500)(1.2?0.9)n?1 an?37500?67500?1.08n?1， a12?194890。 （2）194890-100000?1.05=89890（元）， 能还清银行贷款。 8、[解]（1）??an?为“6关联数列”，??an?前6项为等差数列，从第5项起为等比数列 ?a6?a1?5,a5?a1?4,且 a6a?5?2， 即1?2，解得a1??3 ????2分 a5a1?4?n?4,n?5?n?4,n?6?n?4,n?4（或an??n?5）． ????????4分 ?an??n?5??n?5?2,n?5?2,n?6?2,n?7?127?127?127?n?n,n?4?n?n,n?5?n?n,n?6（2）由（1）得Sn??2（或Sn??2） ??2222n?4??2n?4?7,n?6??2n?4?7,n?7?2?7,n?5??????????????6分 ?a4n?:?3,?2,?1,0,1,2,22,23,2,25,?，?Sn?:?3,?5,?6,?6,?5,?3,1,9,25,? ?anSn?:9,10,6,0,?5,?6,4,72,400,?，可见数列?anSn?的最小项为a6S6??6， ?证明：a?1n(n?4)(n?7),n?5nSn???2， ?2n?5(2n?4?7),n?6列举法知当n?5时，(anSn)min?a5S5??5； ???????????????8分当n?6时，an?5(n?6)，设2n?5?t，则t??2,2nSn?2?(2n?5)2?7?22?,at2?7t?2(t?74)2?49nSn?28?2?22?7?2??6． ????????10分 （3）?{an}为“r关联数列”，且a1??10,d?1,q?2 ?ar?1?a1?(r?2)d?r?12,ar?r?11，?ara?2?r?13 r?1??a?n?11,n?12??1n2?21n,n?12n?? ??????????12分 ??2n?12,n?13,Sn???22?2n?11?56,n?13①当k?m?12时，由 12k2?211212k?2m2?2m得(k?m)(k?m)?21(k?m) k?m?21,k,m?12,m?k，???m?12或?m?11?k?9?． ?k?10②当m?k?12时，由2k?11?56?2m?11?56得m?k，不存在 ??????14分 ③当k?12,m?12时，由 1k2?212k?2m?11?56，2m?102?k2?21k?112 当k?1时，2m?10?92,m?N*；当k?2时，2m?10?74,m?N*； 当k?3时，2m?10?58,m?N*；当k?4时，2m?10?44,m?N*； 当k?5时，2m?10?25,m?15?N*；当k?6时，2m?10?22,m?N*； 当k?7时，2m?10?14,m?N*；当k?8时，2m?10?23,m?13?N*； 当k?9时，2m?10?22,m?12舍去；当k?10时，2m?10?2,m?11舍去 m,?2?，, 当k?11时，2m?10?2,m?11舍去；当k?12时，2m?10?22,m?12舍去??16分 综上所述，?存在? 9、 ?m?15?m?13?m?12?m?11或?或?或?． ???????18分 ?k?5?k?8?k?9?k?10