和y的值▁▁▁▁.
14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.
三、计算题
1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，
??(0,?,?2)，问
（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？
（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？
2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，
T?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：
（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？
3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，
?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，
并将其余向量用该极大无关组线性表示。
4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相
关，t为何值时?1,?2,?3线性无关？
5. 将向量组?1?(1,2,0)T， ?2?(?1,0,2)T，?3?(0,1,2)T标准正交化。
四、证明题
1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。
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2. 设?1,?2,??,?n线性无关，证明?1??2,?2??3,??,?n??1在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。
3. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由
?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。
4. 设?1,?2,?3线性相关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。 ?2,?3,?4线性无关，5. 证明：向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
6. 设向量组?1,?2,??,?s中?1?0，并且每一个?i都不能由前i?1个向量线性表示(i?2,3,?,s)，求证?1,?2,?,?s线性无关。
7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
8.设?0,?1,?2,?,?s是线性无关向量组，证明向量组
?0,?0??1,?0??2,?,?0??s也线性无关。
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第三章向量参考答案
一、 单项选择
1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题
1. 5 2.相关 3. ??0 4.相关 5.无关 6.线性无关 7. -1
8.无关 9.相等 10. ? 11.线性无关 12. 0 13. x??1,y??14.对应分量成比例 三、解答题
1. 解：设??x1?1?x2?2?x3?3
?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??
?x?x?(1??)x??223?11??11??1111????2(??3)
12
其系数行列式A?11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;
?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，
?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，
但表示式不唯一;
（3）当???3时，方程组的增广阵
10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，
?1?000?18?1?29?????
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所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2.解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵
?1??0?2??3??1?1111???01121??0??3a?24b?3???51a?85??0??111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b???不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合； （1）当a??1且b?0时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。 （2）当a??1,b任意时，?1??13.解：(?1,?2,?3,?4,?5)???0??4?2156113??1??2?10??0?5?27??0???2014???00?111000002??01?
1?1??00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4
1114.解：?1,?2,?3?123?t?5，
13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。 5.解：先正交化：
令?1??1??1,2,0?
T ?2??2??,?2??1,?1??42??1=??,,2? ?1??55?T??,?3??3?3??1,再单位化：
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??,?2??=?1?1?11??1?3,?,?? 2??2,?2??3?1?66?T
??1?1?1??,??1?52?2?2?,0??????,，2???2?530?1??? 6?TT130,5???， 30?T??21?3?3??,?,?3?6?6?1,?2,?3为标准正交向量组。
四、证明题
1.证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0
∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关
2.证：设k1(?1??2)?k2(?2??3)???kn(?n??1)?0
则(k1?kn)?1?(k1?k2)?2??(kn?1?kn)?n?0 ∵?1,?2,??,?n线性无关
?k1?kn?0?k?k?0?12∴?
?????kn?1?kn?0110011001???000100其系数行列式
?2,n为奇数=1?(?1)n?1??
???????0,n为偶数000?10000?11∴当n为奇数时，k1,k2,??,kn只能为零，?1,?2,??,?n线性无关； 当n为偶数时，k1,k2,??,kn可以不全为零，?1,?2,??,?n线性相关。
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