第二章 平面体系几何组成分析。
内容提要
1． 几个基本概念
（1） 几何不变体系。不考虑材料应变，在任意载荷作用下能保持其原有的几何形状和位
置的体系。
（2） 几何可变体系。不考虑材料应变，在任何载荷作用下其原有的几何形状和位置发生
变化的体系。
（3） 瞬变体系。如果一个几何可变体系在发生微小的位移后，即成为几何不变体系，称
为瞬变体系。
（4） 刚片。在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，故可以把每一杆件或体系中已
被肯定为几何不变的某个部分看作刚体，刚体在平面体系中称为刚片。
（5） 自由度。一个体系的自由度，是指该体系在运动时确定其位置所需的独立坐标的数
目。
（6） 约束。指减少物体或体系自由度的装置。
（7） 多余约束。如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并不因此而减少，则该约束
称为多余约束。
2．自由度计算公式
（1）平面刚片体系
W?3m?2h?r （15.1）
式中： W——体系的计算自由度;
m——体系中的刚片数。
h——单铰数；
r——支座链杆数。 （2）平面链杆体系
W?2j?b?r （15.2）
式中：j——体系中的节点数；
b——链杆数;
r——支座链杆数。
若W?0（对于不和基础相连的独立体系为W?3），则体系为几何可变；若W?0
（对于不和基础相连的独立体系为W?3），说明体系满足几何不变的必要条件，还要应用 几何不变体系的基础组成规则作进一步分析。
3．几何不变体系的简单组成规则
（1）两刚片规则。两刚片用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连结，组成无多余约束的
几何不变体系。
两刚片永不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，也组成无多余约束的几何不
变体系。
（2）三刚片规则。三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何
不变体系。
（3）加减二元体规则。在一个体系上增加或减少二元体，不改变原体系的几何可变或不
变性。
4．解题技术
（1）应用基本组成规则进行分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几
何不变的部分作为刚体，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化为二至三个刚片，再应用规则进行分析，体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。
(2) 当体系与基础是按两刚片规则连接时，可先撤去支座链杆，只分析体系内部杆件
的几何组成性质。
（3）当两个刚片用两个两根链杆相连时，相当于在两杆轴线的交点处用一虚铰相连，
其作用与一个单铰相同。当两个轴线相互平行时，可认为两杆轴线在无穷远处相交，交点在无穷远处。
（4）对体系作几何组成分析时，每一根杆件都要考虑，不能遗漏，但也不能重复使用。
分析结果要说明整个体系是什么性质的体系，有无多余约束，如有多余约束，有几个。
题 解
题2-1 试对图示体系进行几何组成分析。
解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =3×3-2×2-5=0
（2）几何组成分析。首先，刚片AB由三根不共点的链杆与基础相连，组成一个大的刚
片Ⅰ。其次，刚片BC由不共线的铰B和链杆4和刚片Ⅰ相连，组成一个更大的刚片Ⅱ。用同样的方法分析刚片CD。最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。
题2-2试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×1-4=-1
（2）几何组成分析。由于支座A为固定端支座，
可把杆AB和基础作为刚片Ⅰ,刚片BC由不共线的铰B和链杆1与刚片Ⅰ相连，链杆2为多余约束。因而整个体系为几何不变，有一个多余约束。
题2-3试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3j-b-r
=2×10-16-4=0
（2）几何组成分析。将AFG部分作为一刚片，然
后依次增加二元体ABG、BCG、CHG、ACFH部分为以扩大了的刚片。这个刚片与基础用
不共点的三根链杆1、2、3相联，组成一个更大的刚片Ⅰ。
同理，可把DERJ部分作为刚片Ⅱ，它由不共点的三根链杆CD、HR、4与刚片Ⅰ
相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。
题2-4试对图示体系进行几何组成分析。 解：体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×5-2×4-5=2
体系缺少足够的约束，为几何可变体系。 5
1
题2-5试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×3-2×2-5=0
（2）几何组成分析。
首先刚片ABCG由四根不共点的链杆与基础相连，组成一个大的刚片Ⅰ（但有一个多余约束）。其次，刚片EF由两根链杆DE和5与刚片Ⅰ相联，缺少一个约束。最后得知整个体系为几何可变。
题2-6试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×4-2×3-6=0 （2）几何组成分析。
首先从体系中撤除二元体DAB、1D2。其次，将链杆3、
4作为二元体，加到基础上，刚片BC由不共点的三根链杆BE、5、6与扩大了的基础相连，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。
题2-7试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r =2×8-9-7=0
（2）几何组成分析。首先把三角形
ACD和BCE分别看作刚片Ⅰ和刚片Ⅱ，把基础看作刚片Ⅲ，则
A B 三个刚片用不共线的三个铰A、
B、C分别两两相联，组成一个大的刚片，在这个大的刚片上依次增加二元体12、DGF、CHG、EIH、IJ3.
最后得知整个体系为几何不变， 且无多余约束。
题2-8试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×6-2×7-4=0
（2）几何组成分析。刚片AF和AB由不 共线的单铰A以及链杆DH相联，构 成刚片Ⅰ，同理可把BICEG部分看
作刚片Ⅱ，把基础以及二元体12、34 看作刚片三，则Ⅰ、Ⅱ、三由不共线 的三个铰F、B、两两相联，构成几 何不变体系，且无多余约 束。
题2-9试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×14-2×19-4=0
（2）几何组成分析。在刚片HD上依次增加二元体DCJ、CBI 、BAH构成刚片Ⅰ，同
理可把DMG部分看作刚片Ⅱ，把基础看作刚片三，则刚片Ⅰ、Ⅱ、三由不共线
2
的单铰D，虚铰N、O相联，构成几何不变体系，且无多余约束。
题2-10试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r =2×7-11-3=0
（2）几何组成分析。由于AFG部分有基础简支，所以可只分析AFG部分。可去掉二元
体BAC只分析BFGC部分，把三角形BDF、CEG分别看作刚片Ⅰ和Ⅱ，刚片Ⅰ和Ⅱ由三根平行的链杆相联，因而，整个体系为瞬变。
题2-11试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r
=2×9-13-5=0 （2）几何组成分析。首先在基础上依次增加二元体
12 、AE3、AFE、ABF、FI4，组成一个大的
刚片Ⅰ。其次，把CDHG部分看作刚片Ⅱ， 刚片Ⅰ、Ⅱ由三根共点的链杆BC、IG、5相 联，因而，整个体系为瞬变。
题2-12试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r
=2×7-11-3=0
（2）几何组成分析。由于ABCDEF
部分有基础简支，所以可只分析 ABCDEF部分。把三角形ABD 看作刚片Ⅰ、BCF看作刚片 Ⅱ，杆件CE看作刚片三，则
三个刚片由不共线的单铰B，虚铰O1、O2分别两两相联，构成几何不变体系，且无多余约束。
题2-13试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r =2×6-8-4=0
（2）几何组成分析。把三角形CDF看作刚片Ⅰ，杆
件AB看作刚片Ⅱ, 基础和二元体23看作刚片
三，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由链杆CE、4相联，相当 于虚铰O1,刚片Ⅱ和三由链杆EB、1相联，相
3
当于一个虚铰，三个虚铰不共线，构成几何不变体系，且无多余约束。 B C A
题2-14试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r =2×12-21-3=0
（2）几何组成分析。由于ABCGLKD部分有基础简支，
所以可只分析ABCGLKD部分。
在三角形ADE上依次增加二元体ABE 、BFE、
BCF 、CGF 、FHE组成刚片Ⅰ，将三角形HJI看成 刚片Ⅱ，杆件KL看成刚片三，刚片Ⅰ和 Ⅱ由单铰 H相联，刚片 Ⅱ和三由链杆KI和JL相联，即在H 点由虚铰相联；刚片Ⅰ刚片三由链杆EK、FL相联，
即在无穷远处有虚铰相联；显然，这三个铰共线，因而，整个体系为瞬变。
题2-15试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×7-2×9-3=0 （2）几何组成分析。由于ACEFG部分
由基础简支，所以可只分析ACEFG部分。在杆件ABC上增加二元体BGA构成刚片Ⅰ，同理可把CDEF部分看作刚片Ⅱ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由不共线的单铰C及链杆GF相联，因而，整个体系为几何不变体系，且无多余约束。
题2-16试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=3m-2h-r =3×9-2×13-3=-2 （2）几何组成分析。由于ADEFG部分
由基础简支, 所以可只分析ADEFG部分。把三角形AED看作刚片Ⅰ，杆BE看作多于约束，把三角形AFG看作刚片Ⅱ，杆CF看作多余约束。刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由不共线的铰A及链杆EF相联，因而
整个体系为几何不变体系，且有2个多余约束。
题2-17试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为
W=2j-b-r =2×9-15-3=-0
（2）几何组成分析。由于
ADIHGFEB部分由基础简支, I
FG 所以可只分析ADIHGFEB部
分。在三角形BEF上依次增加二元体 BCE 、CGF 组成刚片Ⅰ，同理可把CDHI部分看成
刚片Ⅱ，刚片Ⅰ和 Ⅱ由不共线的铰C及链杆GH相联，构成一个更大的刚片，然
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