高考专题训练(二) 基本初等函数的图象与性质
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．
1．(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1C．y＝ B．y＝－x D．y＝x|x|
3
x解析 采用排除法，选项A虽是增函数但不是奇函数，选项B是奇函数但不是增函数，选项C虽是奇函数但在整个定义域内不是一个增函数，故应选D.采用直接法，选项D的函数
??－x，x<0
y＝x|x|＝?2
?x，x≥0?
2
，画出函数的大致图象，很容易判断此函数既是奇函数又是增函数．
答案 D
2．(2012·新课标)已知函数f(x)＝
1
x＋
，则y＝f(x)的图象大致为( ) －x
A B
C D
1
解析 解法一：先求定义域，x>－1，且x≠0，排除D，取x＝e－1>0得y＝<0，
1－e＋1
排除A，取x＝－0.5，得y＝
11
，∵ln2>lne＝0.5，∴y＝<0，排除C，
－ln2＋0.5－ln2＋0.5
选B.解法二：先求定义域，x>－1，且x≠0，排除D，考查f′(x)＝(ln(1＋x)－x)，
1＋x当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调增加；当－1 答案 B ??1，x∈Q 3．(2012·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝? ?－1，x∈?RQ? x－2 e－1 ，g(x)＝x，则 e＋1 x函数h(x)＝f(x)·g(x)( ) A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数 解析 当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈?RQ时，－x∈?RQ，∴f(－x)＝e－1 f(x)＝－1.综上有，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝－xe＋11－ee－1＝x＝－x＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－1＋e1＋e xx－xg(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∵h(1)＝f(1)·g(1)＝ e－1e－11－e，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×－1＝，∴h(－1)≠h(1)， e＋1e＋11＋e ∴函数h(x)不是偶函数．综上，应选A. 答案 A 4．(2012·山东)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 函数f(x)＝a在R上是减函数，则0 3 －1 xx3 在R上为单调递增函数，而当g(x)＝(2－a)·x在R上为单调递增函数时有2－a>0，即0 答案 A 5．(2012·衡阳六校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都 x有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)＝( ) A．1＋log23 C．－1 B．－1＋log23 D．1 解析 ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－2 011)＝f(2 011)．当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数．注意到2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f(2 011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2 012)＝f(0)＝log21＝0，∴f(－2 011)＋f(2 012)＝－1，选C. 答案 C 6．(2012·衡阳六校联考)定义域为[a，b]的函数y＝f(x)图象的两个端点为A、B，M(x， y)是函数f(x)图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ)b，λ∈[0,1]．已知向量ON＝λOA＋ →→ (1－λ)OB，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f(x)在[a，b]上“k阶线性近似\\”．若函数 →→ y＝x－在[1,2]上“k阶线性近似\\”，则实数k的取值范围为( ) xA．[0，＋∞) 3??C.?＋2，＋∞? ?2? B.? 1 ?1，＋∞? ? ?12? 3??D.?－2，＋∞? ?2? －λ 1??3?3??解析 依题意知点A(1,0)、B?2，?、M?2－λ，2－λ－、N?2－λ，?2－λ??2?2?? ?， ?? 11111→?→?1－λ－?－λ－?则MN＝?0，，所以|MN|＝?，其中λ∈[0,1]．令2－λ＝a，?2?2??2－λ2?2－λ2?→?1＋1 则有λ＝2－a，当λ∈[0,1]时，有a∈[1,2]，则|MN|＝? ?2－λ2 2 －λ 3－?＝2?? ?1＋a－3?，令g(a)＝1＋a－3，g′(a)＝－1＋1＝a－2.当a∈(1，2)时，g′(a)<0；当a?a22?a22a222a2?? ∈(2，2)时，g′(a)>0，因此g(a)在(1，2)上单调递减，在(2，2)上单调递增．因为g(2)3?3??3?＝2－<0，g(1)＝g(2)＝0，因此当a∈[1,2]时，有g(a)∈?2－，0?，|g(a)|∈?0，－2?， 2?2??2?3→?3?即|MN|的最大值为－2，所以实数k的取值范围为?－2，＋∞?，选D. 2?2? 答案 D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． －x＋2xx?? 7．已知函数f(x)＝?x＝， ??x2＋mxx2 ， 为奇函数，若函数f(x)在区间[－1，|a|－ 2]上单调递增，则a的取值范围是________． 解析 当x<0时，－x>0， ∵f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x，又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－x－2x，∴x<0时，f(x)＝x＋2x， ∴m＝2，即 2 －x＋2x，x?? f(x)＝?0，x＝ ?，?x2＋2x，x2 2 2 2 如图． 由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需 ??|a|－2>－1， ? ?|a|－2≤1，? 解得－3≤a<－1或1 答案 [－3，－1)∪(1,3] 8．设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为________． 解析 令f(x)分别在x1，x2(x1，x2∈[3,4])处取得最大、最小值，即f(x1)＝x1＋g(x1)＝5， f(x2)＝x2＋g(x2)＝－2，因为y＝x为增函数，y＝g(x)的周期为1，故f(x1＋6)是f(x) 在[9,10]上的最大值，此即为f(x)在[－10,10]上的最大值．f(x2－13)是f(x)在[－10，－9]上的最小值，此即为f(x)在[－10,10]上的最小值． f(x1＋6)＝x1＋6＋g(x1＋6)＝x1＋g(x1)＋6＝11. f(x2－13)＝x2－13＋g(x2－13)＝x2＋g(x2)－13＝－15.故值域为[－15,11]． 答案 [－15,11] 2?1?x2 9．(2012·洛阳统考)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝??－m，若?x1∈[1,2]，?x2∈[－ x?2?1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________． 解析 要使对?x1∈[1,2]，?x2∈[－1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，只需使f(x)在区间[1,2]上的最小值大于等于g(x)在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f′(x)＝ x3－ x2 ≥0对x∈[1,2]恒成立，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，从而函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)＝3.易知函数g(x)在区间[－1,1]上单调递减，故函数g(x)在区间[－1,1]上的最115小值为g(1)＝－m.由题意得3≥－m，解得m≥－. 222 ?5?答案 ?－，＋∞? ?2? 10．设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足： 对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P. 现给出如下映射： ①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V. 其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 解析 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 2 f1[λa＋(1－λ)b]＝f1[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1 －λ)y2. λf1(a)＋(1－λ)f1(b) ＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2) ＝λx1－λy1＋(1－λ)x2－(1－λ)y2 ＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2. ∴f1具有性质P f2[λa＋(1－λ)b]＝f2[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋λy1 ＋(1－λ)y2 λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2 ≠f2[λa＋(1－λ)b] ∴f2不具有性质P 2 2 2 2 f3[λa＋(1－λ)b]＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1λf3(a)＋(1－λ)f3(b) ＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1 ＝f3[λa＋(1－λ)b]． ∴f3具有性质P. 答案 ①③ 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．