11．(12分)(2011·广东清远市高三3月测试)已知函数f(x)＝ax＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.
2
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)记△OAP的面积为S，求S的最大值．
解 (1)由已知可得函数f(x)的对称轴为x＝3，顶点为(3,9)．
?b?－＝3
法一：由?2a4ac－b??4a＝9
22
f＝0
2
得a＝－1，b＝6，c＝0 得f(x)＝6x－x，x∈[0,6]． 法二：设f(x)＝a(x－3)＋9 由f(0)＝0，得a＝－1 得f(x)＝6x－x，x∈[0,6]．
112
(2)S(t)＝|OA|·|AP|＝t(6t－t)，t∈(0,6)
22
2
S′(t)＝6t－t2＝t(4－t)
列表
3232
t S′(t) S(t) (0,4) ＋ 4 0 极大值 (4,6) － 由上表可得t＝4时，三角形面积取得最大值． 12
即S(t)max＝S(4)＝×4×(6×4－4)＝16.
2
12．(13分)(2012·江苏)设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈?PA，则2x??PA.
nn*
(1)求f(4)；
(2)求f(n)的解析式(用n表示)．
解 (1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4. (2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次经后，商必为奇数，此时记商为m，
于是x＝m·2，其中m为奇数，k∈N. 由条件知，若m∈A，则x∈A?k为偶数； 若m?A，则x∈A?k为奇数．
于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qnk*
n?n＋1?的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是?或，
2?2??
所以f(n)＝