内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 1.3 三角函数的诱导公式（一）
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α). 知识点一 诱导公式二
思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点
P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关
系？
答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二
sin?π＋α?＝－sin α， cos?π＋α?＝－cos α， tan?π＋α?＝tan α. 知识点二 诱导公式三
思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三
sin?－α?＝－sin α， cos?－α?＝cos α， tan?－α?＝－tan α. 知识点三 诱导公式四
思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点
1
P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间
有什么关系？
答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.
类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值.
11π43π(1)cos 210°； (2)sin ；(3)sin(－)； (4)cos(－1 920°).
46解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－
3. 2
11π3π(2)sin＝sin(2π＋) 443ππ
＝sin＝sin(π－) 44π2＝sin＝. 42
43π7π(3)sin(－)＝－sin(6π＋) 667πππ1
＝－sin＝－sin(π＋)＝sin＝.
6662(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
2
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－1
2. 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°； (2)cos??31π?
－?6??； (3)tan(－945°).
解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3
2
. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32
. (2)方法一 cos???－31π6???＝cos31π6＝cos???
4π＋7π6???
＝cos(π＋π6)＝－cos π36＝－2
. 方法二 cos??31π?－?＝cos?－6π＋5π6????
6???
＝cos???
π－π6???＝－cosπ36＝－2. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求角问题
例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2，则θ等于( A.－π6 B.－πππ3 C.6 D.3
答案 D
解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，
可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π
2
，
)
3
ππ
即tan θ＝3，|θ|<，∴θ＝.
23
反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.
跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.
解 由题意，得??
sin α＝2sin β， ①
?3cos α＝2cos β. ②
①2
＋②2
，得sin2
α＋3cos2
α＝2， 即sin2
α＋3(1－sin2
α)＝2， ∴sin2
α＝12，∴sin α＝±22.
∵0<α<π，∴sin α＝2
2
， ∴α＝π4或α＝3
4
π.
把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－3
2. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝5
6π.
∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝5
6π.
类型二 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式.
(1)tan?2π－α?sin?－2π－α?cos?6π－α?
cos?α－π?sin?5π－α?；
(2)1＋2sin 290°cos 430°
sin 250°＋cos 790°
. sin?2π－α?
解 (1)原式＝cos?2π－α?
·sin?－α?cos?－α?
cos?π－α?sin?π－α?
＝
－sin α?－sin α?cos αcos α?－cos α?sin α＝－sin α
cos α
＝－tan α.
(2)原式＝1＋2sin?360°－70°?cos?360°＋70°?
sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?
＝
1－2sin 70°cos 70°|cos 70°－sin 70°|
－sin 70°＋cos 70°＝cos 70°－sin 70°
4
＝
sin 70°－cos 70°
cos 70°－sin 70°
＝－1.
引申探究
若本例(1)改为：tan?nπ－α?sin?nπ－α?cos?nπ－α?
cos[α－?n＋1?π]·sin[?n＋1?π－α](n∈Z)，请化简.
解 当n＝2k时，
原式＝－tan α·?－sin α?·cos α－cos α·sin α＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝－tan α·sin α·?－cos α?cos α·?－sin α?＝－tan α.
反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2
α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式. (1)cos?π＋α?·sin?2π＋α?sin?－α－π?·cos?－π－α?； (2)cos 190°·sin?－210°?cos?－350°?·tan?－585°?
. 解 (1)原式＝－cos α·sin α
－sin?π＋α?·cos?π＋α?
＝
cos α·sin α
sin α·cos α
＝1.
(2)原式＝cos?180°＋10°?·[－sin?180°＋30°?]
cos?－360°＋10°?·[－tan?360°＋225°?] ＝－cos 10°·sin 30°
cos 10°·[－tan?180°＋45°?]
＝
－sin 30°－tan 45°＝1
2
.
1.sin 585°的值为( ) A.－222 B.2 C.－32 D.32
答案 A
解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
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