∴=，…
∴x1x2+y1y2=
+=0
∴∠QOR=90°为定值． …
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
21．已知a∈R，函数
，g（x）=（lnx﹣1）e+x．
x
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：
．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）先求函数f（x）的定义域，然后求出导函数f'（x）=0的值为a，讨论a与区间（0，e]的位置关系，根据函数的单调性可求出函数函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）先求导函数，根据（1）可知：当a=1时，
在区间（0，e]上有最小值ln1=0则
，从而当
，曲线y=g（x）在点x=x0处
x0∈（0，e]时，
的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x0）=0有实数解，而 g'（x0）＞0即方程g'（x0）=0无实数解，从而得到结论； （3）由（1）可知：当a=1时，时，恒有
取x=n（n∈N），得
*
对?x∈[0，+∞）恒成立，即当x≥0
（*）
则
故，在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），
*
然后利用裂项法进行求和可得结论．
解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞） ∵
∴
令
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时，f（x）无最小值； ②若0＜a＜e，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈[a，e]时，f'（x）＞0， ∴f（x）在区间（0，a]上单调递减，在区间（a，e]上单调递增， ∴当x=a时，f（x）有最小值lna；
③若a≥e，则f'（x）≤0，f（x）在区间（0，e]上单调递减， ∴当x=e时，f（x）有最小值．
综上：
（2）∵g（x）=（lnx﹣1）e+x∴由（1）可知：当a=1时，∴
∴当x0∈（0，e]时，
x
在区间（0，e]上有最小值ln1=0
∵曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x0）=0有实数解，而 g'（x0）＞0即方程g'（x0）=0无实数解，故不存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．
（3）（理）由（1）可知：当a=1时，即 当x≥0时，恒有取x=n（n∈N），得∴故
*
对?x∈[0，+∞）恒成立，
…（*）
又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），得：
*
∴故
或：又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），得：ln[k（k+1）（k+2）]≥ln6＞lne=1 ∴故
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及不等式的证明，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
*