因为 a?c?5，
所以 ac?6． ??????11分
所以 ?ABC的面积S?分
16．（本小题满分13分）
133． ??????13acsinB?22（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1． ????2分
所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：
321?6?3；第4组：?6?2；第5组：?6?1． 666所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ??????5分
4215（Ⅱ）解：记第3组的3位同学为A1，A2，A3；第组的位同学为B1，B2；第组的
位
同学为C． ??????6分 则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1), (A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C)，共15种可能． ??????10分
其中，(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),
(B1,C),(B2,C)这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ??????12
分
故所求概率为P?分
17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连接CN．
因为 ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以 CC1?平面ABC， ??????1分
高三数学（文科）试题 第6页（共4页）
11． ??????1315
所以 AC?CC1． ??????2分
因为 AC?BC，所以 AC?平面BCC1B1． ??????3分 因为 MC?1，CN?CC1?C1N?5，
所以 MN?6． ??????4分 （Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1． ??????5分
221BC． 21在矩形B1BCC1中，因为 N为B1C1中点，所以B1N//BC，B1N?BC．
2在?ABC中，因为 M为AC中点，所以DM//BC，DM?所以 DM//B1N，DM?B1N．
所以 四边形MDB1N为平行四边形，所以 MN//DB1． ??????7分
因为 MN?平面ABB1A1，DB1?平面ABB1A1， ??????8分
所以 MN//平面ABB1A1． ??????9分
（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B?平面MNQ． ???11分
证明如下：连接BC1．
在正方形BB1C1C中易证 QN?BC1．
又A1C1?平面BB1C1C，所以 A1C1?QN，从而NQ?平面A1BC1．????12分
所以 A1B?QN． ??????13分
同理可得 A1B?MQ，所以A1B?平面MNQ．
故线段CC1上存在点Q，使得A1B?平面MNQ． ??????14分
高三数学（文科）试题 第7页（共4页）
18．（本小题满分13分）
b?x2（Ⅰ）解：f?(x)?2． ??????22(x?b)分
依题意，令f?(?1)?0，得 b?1． ??????4分
经检验，b?1时符合题意． ??????5分（Ⅱ）解：① 当b?0时，f(x)?1． x故f(x)的单调减区间为(??,0)，(0,??)；无单调增区间． ??????6分
b?x2② 当b?0时，f?(x)?2． 2(x?b)令f?(x)?0，得x1?b，x2??b． ??????8分
f(x)和f?(x)的情况如下：
x f?(x) f(x) (??,?b) ? ?b 0 (?b,b) b 0 (b,??) ? ? ↗ ↘ ↘ 故f(x)的单调减区间为(??,?b)，(b,??)；单调增区间为(?b,b)．
??????11分
③ 当b?0时，f(x)的定义域为D?{x?R|x???b}．
b?x2因为f?(x)?2?0在D上恒成立， 2(x?b)故f(x)的单调减区间为(??,??b)，(??b,?b)，(?b,??)；无单调增区间．
??????13分
19．（本小题满分14分）
?b1?a?2,（Ⅰ）解：依题意，得 ? ??????2分
?a2?b2?5.?解得 a?2，b?1． ??????3
分
高三数学（文科）试题 第8页（共4页）
x2?y2?1． ??????4所以 椭圆的方程为4分
1x2?y2?1，（Ⅱ）证明：由于l//AB，设直线l的方程为y??x?m，将其代入消去y，
24整理得2x?4mx?4m?4?0． ??????6分 设C(x1,y1)，D(x2,y2)．
yBCMONDl22???16m?32(m?1)?0,?所以 ?x1?x2?2m,?????8分
?2?x1x2?2m?2.22Ax证法一：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2． 由M(2m,0)，N(0,m)， 则S1?S2?分
因为 x1?x2?2m， 所以 |2y1|?|2?(?分
11?|2m|?|y1|??|m|?|x2|?|2y1|?|x2|． ??????10221x1?m)|?|?x1?2m|?|x2|， ??????132从而S1?S2． ??????14分
证法二：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．
则S1?S2?|MC|?|ND|?线段CD,MN的中点重合． ??????10分
因为 x1?x2?2m，
x1?x2y?y21x?x1?m，1???12?m?m． 222221故线段CD的中点为(m,m)．
2所以
因为 M(2m,0)，N(0,m)， 所以 线段MN的中点坐标亦为(m,分
1m)． ??????132高三数学（文科）试题 第9页（共4页）
从而S1?S2． ??????14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：r 1(A)?r3(A)?r4(A)?1，r2(A)??1；c1(A)?c2(A)?c4(A)??1，c3(A)?1，
所以l(A)?分
（Ⅱ）证明：对数表A0：aij?1(i,j?1,2,3,?r(A)??cii?1j?144j(A)?0． ??????3
,n)，显然l(A0)?2n．
将数表A0中的a11由1变为?1，得到数表A1，显然l(A1)?2n?4．
1?1，得到数表A2，显然l(A2)?2n?8． 将数表A1中的a22由变为
依此类推，将数表Ak?1中的akk由1变为?1，得到数表Ak． 即数表Ak满足：a11?a22?所以 r1(A)?r2(A)??akk??1(1?k?n)，其余aij?1．
?ck(A)??1．
,n．?????7
?rk(A)??1，c1(A)?c2(A)?所以 l(Ak)?2[(?1)?k?(n?k)]?2n?4k，其中k?0,1,2,分
【注：数表Ak不唯一】 （Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在A?S(n,n)，其中n为奇数，使得l(A)?0． 因为ri(A)?{1,?1}，cj(A)?{1,?1} (1?i?n,1?j?n)， 所以r1(A)，r2(A)，
，rn(A)，c1(A)，c2(A)，
，cn(A)这2n个数中有n个
1，n个?1．
令M?r1(A)?r2(A)??rn(A)?c1(A)?c2(A)??cn(A)．
n一方面，由于这2n个数中有n个1，n个?1，从而M?(?1)??1． ① 另一方面，r1(A)?r2(A)??rn(A)表示数表中所有元素之积（记这n2个实数之积为
2；c1(A)?c2(A)???cn(A)也表示m，从而M?m?1． ② m）
高三数学（文科）试题 第10页（共4页）
①、②相互矛盾，从而不存在A?S(n,n)，使得l(A)?0．
即n为奇数时，必有l(A)?0． ??????13分
高三数学（文科）试题 第11页（共4页）