∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE， ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE， 在△ADG和△ABE中， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴DG=BE， 如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠MDA=45°， 在Rt△AMD中，∠MDA=45°， ∴cos45°=∵AD=2， ∴DM=AM=， =， ， 在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM=∵DG=DM+GM=∴BE=DG=++； ， (3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为： 对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上， ∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大； 对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上， ∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大， 则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6． 点评： 此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，- 21 -
勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
27．（14分）（2015?连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？
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考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标； (2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB+AC=BC；若∠ACB=90°，则AB=AC+BC；若∠ABC=90°，则AB+BC=AC三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标； (3）设M（a，a），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股2222222222定理得MN=a+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=MN+3PM=﹣a+3a+9，确定二次函数的最值即可． 解答： 解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2， ∴y=×（﹣2）=1，A点的坐标为（2，﹣1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b， - 22 -
222，从而得到将（0，4），（﹣2，1）代入得， 解得， ∴直线y=x+4， ∵直线与抛物线相交， ∴x+4=x， 解得：x=﹣2或x=8， 当x=8时，y=16， ∴点B的坐标为（8，16）； (2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G， ∴AG+BG=AB， ∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB=325． 设点C（m，0），同理可得AC=（m+2）+1=m+4m+5， BC=（m﹣8）+16=m﹣16m+320， ①若∠BAC=90°，则AB+AC=BC，即325+m+4m+5=m﹣16m+320， 解得：m=﹣； ②若∠ACB=90°，则AB=AC+BC，即325=m+4m++=m﹣16m+320， 解得：m=0或m=6； ③若∠ABC=90°，则AB+BC=AC，即m+4m+5=m﹣16m+320+325， 解得：m=32； ∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0） (3）设M（a，a），如图2，设MP与y轴交于点Q， 在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=又∵点P与点M纵坐标相同， ∴+4=a， 222222222222222222222222222222=a+1， 2∴x=， - 23 -
∴点P的纵坐标为， ∴MP=a﹣， ∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a+3a+9， 2∴当a=﹣=6， 又∵2≤6≤8， ∴取到最小值18， ∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． - 24 -