试卷答案
一、选择题
1-5:DBCDA 6-10:CCCBD 11、12：AD
二、填空题
13.1979 14.?33 15.[,2] 16.(0,3]
32三、解答题
17.解：（1）因为an?1?2an???1??3n?1?，所以
2an???1?nnan?1???1?n?1?nn?1?
an???1?nn??3n?1????1?nn?n?1?an???1?n?2[an???1?n]an???1?nn?2，
n又a1?1?3?1?2，所以数列{an?(?1)n}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得an???1?n?2?2所以S10?(2?2?210nn?1?2，故an?2???1?n，
2(1?21?210nnn?2)?(1?2)?(3?4)++(9?10)?)?5?211?7?2041.
18.解：（1）
2c?ba?cosBcosA，即2ccosA?bcosA?acosB，
根据正弦定理，得2sinCcosA?sinBcosA?sinAcosB?sin?A?B??sinC， 因为0?C??，所以sinC?0，得cosA?2212，因为0?A??，所以A?22?3.
2（2）根据余弦定理，得12?b?c?bc??b?c??3bc??b?c??所以?b?c??48，即b?c?43，当且仅当b?c时等号成立， 所以?ABC周长的最大值为63. 19.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05?2?0.1，
234?b?c??14?b?c?，
2由频率分布直方图可知：(0.004?0.006?0.005?m)?50?0.1?1， ∴m?0.003.
（2）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3:0.15?2:1， 按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做A1,A2,A3,A4， 空气中度污染天气被抽取2天，记做B1,B2， 再从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)共15个，
事件A“至少有一天空气质量中度污染”所包含的基本事件有：
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)共9个，
故P?A??915?35.
（3）列联表如下：
因为K2?240?(90?22?38?90)180?60?128?1122?3.214?2.706，
所以至少有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 20.解：（1）取CD中点N，连接MN,FN， 因为N,M分别为CD,BC中点，所以MN//BD，
又BD?平面BDE，且MN?平面BDE，所以MN//平面BDE，
因为EF//平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD?平面ABEF?AB， 所以EF//AB，又AB?CD?2DN?2EF?2，AB//CD， 所以EF//CD，EF?DN.
所以四边形EFND为平行四边形.所以FN//ED. 又ED?平面BDE且FN?平面BDE， 所以FN//平面BDE，又FN?MN?N， 所以平面MFN//平面BDE.又MF?平面MFN， 所以FM//平面BDE.
（2）由（1）得FM//平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离，
取AD的中点H，连接EH,BH，由四边形ABCD为菱形，且?DAB?60，EA?ED?AB?2EF， 可得EH?AD，BH?AD，
因为平面ADE?平面ABCD，平面ADE?平面ABCD?AD， 所以EH?平面ABCD，EH?BH， 因为EH?BH?123，所以BE?6，
所以S?BDE??6?2?(262)2?152，
设F到平面BDE的距离为h，又因为S?BDM?12S?BCD?12?34?4?32，
所以由VE?BDM?VM?BDE，得?313?32?13?h?152，解得h?155.
91a2221.解：（1）根据题意，
3?42?1①，设M(x1,y1)，由线段MA1,MA2的斜率之积为?得，
4by1x1?a?y1x1?a?y1222b(1?2x1a222)??x1?a?ba22x1?a2??34，即
ba22?34②，
联立①②解方程可得，a?2，b?x23.
所以椭圆C的方程为
4?y23?1.
（2）由（1）可得PF2?x轴，要证G,P,F2三点共线，只需证GF2?x轴，即证xG?1.
?y?k?x?4??2设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联解方程?x2， y??1?3?4可得，(3?4k)x?32kx?64k?12?0，??0.
32k222222由韦达定理可得，x1?x2?y1x1?23?4k，x1x2?64k2?122（*），
3?4ky2x2?2因为直线lAM:y?1?x?2?，lA2N:y??x?2?，
即证：
3y1x1?2??y2x2?2，即3k(x1?4)?(x2?2)??k(x2?4)?(x1?2).
即证：4x1x2?10(x1?x2)?16?0.
4?(64k2将（*）代入上式可得
?12)23?4k?10?32k3?4k22?16?0?16k2?3?20k2?3?4k2?0.
此式明显成立，原命题得证. 所以G,P,F2三点共线.
22.解：（1）f??x??ax??a?1??由已知f??2??2a??a?1??1834121?2ax?x?0?， 12?0?a?14?1?2a2?2a?，
此时f?x??x?2x?lnx，f??x??14x?34?12x?x?1??x?2?4x，
当0?x?1和x?2时，f??x??0，f?x?是增函数， 当1?x?2时，f??x??0，f?x?是减函数，
所以函数f?x?在x?1和x?2处分别取得极大值和极小值. 故函数f?x?的极大值为f?1??极小值为f?2??12?32?1218?1234??58，
ln2?ln2?1.
（2）f??x??ax??a?1??①当
1?2aa?0，即a?121?2ax?ax??a?1?x??1?2a?x2a?x?1?(x??x1?2aa)?x?0?，
时，0?x?1时，f??x??0，x?1时，f??x??0，
所以f?x?在区间?0,1?上单调递减，在区间?1,???上单调递增； ②当0?1?2aa1?2aa?1，即
13?a?12时，0?x?1?2aa和x?1时，f??x??0，
,1)上单调递减，
?x?1时，f??x??0，所以f1?2aa?x?在区间(1?2aa在区间(0,③当
)和?1,???上单调递增；
131?2aa?1，即0?a?时，0?x?1和x?1?2aaa时，f??x??0，
)上单调递减，
1?x?1?2aa时，f??x??0，所以f?x?在区间(1,1?2aa,??)上单调递增； 131?2a在区间?0,1?和(④当
1?2aa?1，即a?13时，f??x??0，所以f?x?在定义域?0,???上单调递增；
1?2aa)上单调递减，在区间?0,1?和(1?2aa,??)上单调递增；
综上：①当0?a?②当a?③当
1313时，f?x?在区间(1,时，f?x?在定义域?0,???上单调递增；
12?a?12时，f?x?在区间(1?2aa,1)上单调递减，在区间(0,1?2aa)和?1,???上单调递增；
④当a?时，f?x?在区间?0,1?上单调递减，在区间?0,???上单调递增.