第24讲 三角恒等变形及应用
一．【课标要求】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 二．【命题走向】
从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力 三．【要点精讲】
1．两角和与差的三角函数
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?； ；
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?。
2．二倍角公式
sin2??2sin?cos?2；
222cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?tan2??2tan?1?tan?2；
。
3．三角函数式的化简
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常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
（1）降幂公式
sin?cos??12sin2?；sin2??1?cos2?2；cos2??1?cos2?2。
（2）辅助角公式
asinx?bcosx?ba?b22a?b?sin?x???，
22其中sin??，cos??aa?b22。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如??(???)??,2??(???)?(???)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 四．【典例解析】
题型1：两角和与差的三角函数
（???）的值。 例1．已知sin??sin??1，cos??cos??0，求cos
分析：因为既可看成是?与?的和，也可以（???）而可得到下面的两种解法。
看作是
???2的倍角，因
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解法一：由已知sin?+sin?=1????①， cos?+cos?=0????②， ①2＋②2得 2+2cos（???）?； ∴ cos（???）??12。
①2－②2得 cos2?+cos2?+2cos（???）=－1， 即2cos（???）〔cos（???）?1〕=－1。 ∴cos???????1。 解法二：由①得2sin由②得2cos④÷③得cot???2???2cos???2cos???2?1????③
???2?0????④
?0，
21?tan?cos??????1?tan???2????2cotcot2???2???2?1??1 ?122点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin?、cos? 、 sin? 、 cos?，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促
转化，“整体对应”巧应用。
例
2sin22．已知
t?a，n?是方t程axn?x?2?的两个5实根根6，求0??????3sin?????cos??????cos2?????的值
ta?n?分析：由韦达定理可得到tan??tan?及进而可以求出ta?的n值，tan?????的值，再将所求值的三角函数式用tan?????表示便可知其值
解法一：由韦达定理得tan??tan??5，tan??tan??6， 所以tan??????tan??tan?1?tan??tan??51?6??1.
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原式?2sin2??2????3sin?????cos??????cossin22???????????cos2??????2?1?3???1??11?1
?2tan??????3tan??????12tan??????1?3
解法二：由韦达定理得tan??tan??5，tan??tan??6， 所以tan??????tan??tan?1?tan??tan?34?51?6??1.
于是有????k????k?Z?，
3?31?2??cosk????1???3???422???32?原式?2sin?k???4?3?3??sin2k?????22??。
点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如
cos?????cos??sin?????sin??cos?，tan??????1?tan?tan???tan??tan?，tan?????tan?tan??tan??????tan??tan?，tan??tan??tan?????tan?tan??tan?????。
题型2：二倍角公式
例3．化简下列各式： （1）
12?12122?1??3???cos2????，2??????， 2?2???2（2）
cos??sin?????2??2cot????cos?????4??4?。
分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2?是?的二倍，?是?2的二倍，以及
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其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角
?4????4????2，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点
3?2???2?，所以12?12cos2??cos??cos?，
解析：（1）因为
3?4又因
??2??，所以12?12cos??sin?2?sin?2，
所以，原式=sin（2）原式=
?2。
cos2??cos2???????2sin????cos?????4??4?????2??2tan????cos?????4??4??cos2?cos2??1。
=
cos2????sin??2???2?点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2?是?的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2?，??，??三个角的内44??在联系的作用，cos2??sin?????2???2sin?2???????????cos?????4??4?是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形
cos??sin2?2sin?，cos??21?cos2?2，sin2??1?cos2?2。 27sin2x?2cos???317例4．若cos??x??，??x??,求41?tanx?4?512x的值。
分析：注意x??种解法。
解法一：由
1712?????????x??，及2x?2??x???4?4?4?2的两变换，就有以下的两
??x?74?，得53??x??4?2?，
4???3???又因cos??x??，sin??x???.
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