----------------------2006年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》试卷-------------------
2.已知
??(1,0,?1,1)T,??(1,1,0,1)T ， 且 A???T, 求方程组 Anx?0 的
通解 .
3.已知随机变量 ?,? 满足 E(?)?1,E(?)?2,D(?)?4,D(?)?9 ， 且 ????
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）
1.设 f(x) 在 (??,??) 内连续,且 limx??12 . 令 ??(4??a?) , 求 a 的值使 E(?) 最小 . 2得分 阅卷人 f(x)?0 , 证明: 总存在一点 ? , 使 x 得 f(?)?? .
2. 已知 A,B 均为 n阶方阵 , 且 A?0 及 B 的每一个列向量均为方程组 Ax?0 的解 , 证明 : |B|?0 .
2006年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》参考答案
一、填空题
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1. y?1?1x; e
2. ?1;
3.
125?a; 54.
?2,4?；
???33??1(A?(??1)E); 6. 1; 5. 2????2二、单项选择题
17. ; 4
?0,y?08.?. 22yf(y),y?0??1. D; 2. B; 3. A; 4. D; 5. C 6. B 7. D 8. A 三、计算题
??axlna1???ln(ax?1)?lnx????, ?????????? 3分 ?1. 解 原式=exp?lim?=exp?xlim???ax?1x???x??x????axlna?0, ? 原式=e0?1. ???????????? 5分 当0?a?1时, ? limxx???a?1 当a?0时, ? limlna?lna, ? 原式=elna?a. ??????????? 7分 ?xx???1?a2. 解 曲面在(1,?2,5)处的法向量为
n?(zx,zy,?1)(1,?2,5)?(2,?4,?1) ??????????????????? 2分 平面?方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0, 即 2x?4y?z?5?0. ????????? 4分 直线L的方程又可写为?11z?y??x?b,代入平面?的方程解得a?1,b??2. ?? 7分
?z?ax?5(x?b)?33. 解 原式=dxdzy1?z4dy ???????????? 2分
???0xx111 =?dx?1?z4(z2?x2)dz ????????? 3分
20x1 =?dz?1?z4(z2?x2)dx ????????? 5分
2001 =?1?z4z3dz ?????????????? 6分
30 =
11z22?1. ????????????????? 7分 18第 页，共 10 页
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4. 解
?z?z?f?(u)exsiny, ?f?(u)excosy. ?????????????1分 ?x?y?2zx2x2??? =f(u)(esiny)?f(u)esiny?uf??(u)?uf?(u), ?????????2分 2?x?2zx2x2x2????? =f(u)(ecosy)?f(u)esiny?f(u)e(1?siny)?uf?(u) 2?y =e2xf??(u)?u2f??(u)?uf?(u). ???????????????????3分
?2z?2z2x 由2?2?ez得f??(u)?f(u)?0. ?????????????????? 4分
?x?y 特征方程r?1?0,特征根r1??1,r2?1.
? f(u)?C1e?u?C2eu. ????????????????????????? 6分 由f(0)?1,f?(0)?1得C1?0,C2? ? f(u)?21. 21ue. ???????????????????????????? 7分 23x11??5. 解 , ? ??????????????????? 2分 21?x1?2x1?x?2x?1 ??xn, |x|?1, ????????????????????? 4分
1?xn?0??1n ??(?2x)??(?1)n2nxn, |2x|?1. ??????????? 6分
1?2xn?0n?0??? f(x)??x??(?1)2x=?[1?(?1)n2n]xn, |x|?nnnnn?0n?0n?01. ?????? 7分 26. 解: ?A??AA?1?BA?E?(AA?1)?B(AA?1)?1 ?????? 2分
?AA(AA)BAA ????? 3分
?1?1?1?1 ?ABA ??? 4分 ? B?(A(E?A))?1 ?????????5分
??2?3?1??? ??0?2?3? ????? 6分
?00?2???第 页，共 10 页
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??1??2 =?0??0??341?207???8?3? ??????? 7分 4?1??2??7. 解: B?C??2??6,?3??1,?4??2,?5??3,?6??4,?1??5
??2,?3??1,?4,?5??3,?6,?1??5+?6,?3??1,?2,?5??3,?4,?1??5?? 2分 ??2,?3,?4,?5,?6,?1??2,?1,?4,?3,?6,?5
+?6,?3,?2,?5,?4,?1??6,?1,?2,?3,?4,?5 ???????????? 5分 ??8??????????????????????????????????? 7分 18. 解: P???1,??1??P(BA)?P(B)P(AB)? ??????????? 2分
121 P???1,???1??P(BA)?P(B)?P(AB)? ??????????3分
4???1,??1??P(BA)?P(A)?P(AB)? P?P(AB)1?P(AB)? ?? 4分
P(B|A)127 ????????? 5分 1211 P{2????1}?P{???1,??1}?P{???1,???1}?P{??1,???1}? ? 7分
121009. 解: E(?i)?10,D(?i)? ???????????????????? 2分
3 P????1,???1??P(BA)?1?P(A?B)? P(??1100)?P(??100?10100?1003?1100?1000)
100?1003 ?1?P(??10001000032?3) ??????????????? 5分
3 ?1????1?t2edt?1??(3)?0.042 ????????? 7分 2?四、应用题
41. 解 如图所示,?????,
6???x第 页，共 10 页
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106?tan??tan?xx=4x. ???? 3分 ?= tan=
60x2?601?tan?tan?1?2x 上式两边对x求导:
d?4(60?x2) sec?, ??????????? 5分 ?dx(x2?60)2 令
d??0得惟一驻点x?215. ???????? 6分 dx 由问题的实际意义知?必有最大值,故x?215就是?的最大值点,即球员在离底线215米处可获得最大射门张角arctan15. ?????????? 8分 151?1?00nTnn?1?2. 解: ? A?(??)?2??1?1??11?n01??00? ???????????3分
0?1??01?? ? Ax?0?x1?x2?x4?0 ????????????????5分
??1???1??0????????1??0??0?k?k?k ?通解:?0?1?0?2?1?3???????0??1??0???????2ki?Ri?1,2,3 ??????8分
3. 解: ? E(?)?E(4??a?)?D(4??a?)?(E(4??a?)) ???? 2分
2 ?D(4?)?D(a?)?2cov(4?,a?)+(4+2a)?????? 5分
2 ?80?40a?13a ????????????????? 6分 ? 当a??五、证明题
1. 证 令F(x)?f(x)?x, ?????????????????? 1分 ? lim220时,E(?)达到最小 ?????????????? 8分 13f(x)?xF(x)=lim=?1?0, ?????????? 2分 x???x???xx ? 由极限保号性知,?a?0,使得F(a)?0. ????????? 4 分
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同理,由limF(x)=?1?0得,?b?0,使得F(b)?0. ????? 5分
x???x由于F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)?0,故由零点定理知,???(a,b)?(??,??),使得
F(?)?0,即f(?)??. ???????????????????? 8分
2.证: ?A?o?r(A)?1 ?????????????????? 1分 ?Ax?0的基础解系中含的向量的个数?n?r(A)?n?1?n?? 3分 由B的每一个列向量是Ax?0的解?r(B)?n?r(A)?n ????5分 ?B中列向量组是线性相关的,?
B?0 ??????????7分
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