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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】 (B).
x2?x1【解析】因为f(x)?21?2有间断点x?0,?1,又因为
x?1xlimf(x)?limx?0x(x?1)111?2?limx1?2, x?0(x?1)(x?1)xx?0xx1?其中lim?x?011?1,lim?x1???1,所以x?0为跳跃间断点. 22?x?0xx12,所以x?1为连续点. 1?1?22显然limf(x)?x?1而limf(x)?limx??1x(x?1)11?2??,所以x??1为无穷间断点,故答案选择B.
x??1(x?1)(x?1)x(2)【答案】 (A)．
【解析】因?y1??y2是y??P?x?y?0的解,故??y1??y2???P?x???y1??y2??0,所以
??y1??P?x?y1????y2??p(x)y2??0,
????而由已知 y1??P?x?y1?q?x?,y2??P?x?y2?q?x?,所以
?????q?x??0, ① 又由于一阶次微分方程y??p?x?y?q?x?是非齐的,由此可知q?x??0,所以????0． 由于?y1??y2是非齐次微分方程y??P?x?y?q?x?的解,所以
??y1??y2???P?x???y1??y2??q?x?,
整理得 ??y1??P?x?y1????y2??P?x?y2??q?x?,
????即 ?????q?x??q?x?,由q?x??0可知????1, ② 由①②求解得????1,故应选(A)． 2www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403
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(3)【答案】 (C).
【解析】因为曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以
2x?aaa,即x?(x?0).又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在y?x2上,当x?x22aaaaa；在y?alnx上,x?时, y?aln?ln. 22222时y?aaa?ln?.从而解得a?2e.故答案选择(C). 222(4)【答案】 (D).
【解析】x?0与x?1都是瑕点.应分成
所以
?1mln2?1?x?n0xdx??1m20ln2?1?x?nxdx??11mln2?1?x?n2x1mdx,
[ln(1?x)]2用比较判别法的极限形式,对于?1m20ln2?1?x?nxdx,由于lim?x?0x1x1n?1.
12?nm显然,当0?12??1,则该反常积分收敛. nm21mmln1?x??12[ln(1?x)]2dx实际上不是反常积分,故收敛. 当??0,lim存在,此时?1n0x?0nmxn12?x故不论m,n是什么正整数,?不论m,n是什么正整数,
1m20ln2?1?x?nxdx总收敛.对于?11mln2?1?x?n2xdx,取0???1,
[ln(1?x)]x?121m1mlim?x1(1?x)?1n??limln(1?x)(1?x)?0, ?2x?1所以?11mln2?1?x?n2xdx收敛,故选(D).
(5) 【答案】 (B).
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?y??z?yz????F??F?F??F?????122212Fx?yF1??zF2??zx?x???xx【解析】??, ????1?xFz?F2?xF2?F2??x1F1??zx, ??????1?y??FzF2F2??xFy?F1???z?zyF1??zF2?yF1?F2??zx?y????z． ?x?yF2?F2?F2? (6) 【答案】 (D). 【解析】?i?1nnnnn1n1nn?()() ?()????22?2222n?jn?in?in?jj?1i?1j?1?n?i??n?j?i?1j?1n1n1n11lim?2?lim?dy, ?22?0n??n??jnj?11?()21?yj?1n?jnn11n1n1lim??lim???dx,
01?xn??n??nin?ii?1i?11?()nnnnn11lim???lim()() ?22?22n??n??i?1j?1?n?i??n?j?j?1n?ji?1n?innn?(lim?2)(lim) ?2n??n??i?1n?ij?1n?jnnn?(?111111dx)(?dy)?dx?0?0?1?x??1?y2?dy. 01?x01?y21 (7) 【答案】 (A)．
【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以r(I)?r(II),即
r(?1,若向量组I线性无关,则r(?1,(8) 【答案】 (D).
,?r)?r(?1,,?s)?s ,?r)?r(?1,,?s)?s,即r?s,选(A).
,?r)?r,所以r?r(?1,【解析】：设?为A的特征值,由于A2?A?O,所以?2???0,即(??1)??0,这样A的特征值
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只能为-1或0. 由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A?, r(A)?r(?)?3,因此,
??1???1??????1?1?,即A????. ??????1??1?????0?0???二、填空题
(9)【答案】y?C1e2x?C2cosx?C3sinx.
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 ?3?2?2???2?0,因式分解得
?2???2?????2?????2???2?1??0,
解得特征根为??2,???i,所以通解为 y?C1e2x?C2cosx?C3sinx. (10) 【答案】y?2x.
2x32x【解析】因为lim?1?2,所以函数存在斜渐近线,又因为 x??x2x32x3?2x3?2xlim2?2x?lim?0,所以斜渐近线方程为y?2x. x??x?1x??x2?1(11)【答案】?2n??n?1?!.
【解析】由高阶导数公式可知ln(n)(1?x)?(?1)n?1(n?1)!, n(1?x)所以 ln(n)?1?2x??(?1)n?1(n?1)!nn(n?1)!??2??2, ??(1?2x)n(1?2x)n即y(n)(0)??2n(n?1)!n??2(n?1)!. n(1?2?0)(12)【答案】2?e??1?.
【解析】因为 0????,所以对数螺线r?e?的极坐标弧长公式为
?(13)【答案】3cm/s.
?0?e????e??d?=?22?02?e?d?=2?e??1?.
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【解析】设l?x(t),w?y(t),由题意知,在t?t0时刻x(t0)?12,y(t0)?5,且x?(t0)?2, y?(t0)?3,设该对角线长为S(t),则 S(t)?x2(t)?y2(t),所以
S?(t)?x(t)x?(t)?y(t)y?(t)x(t)?y(t)?22. 所以 S?(t0)?(14)【答案】3.
x(t0)x?(t0)?y(t0)y?(t0)x(t0)?y(t0)2212?2?5?312?522?3.
【解析】由于A(A?1?B)B?1?(E?AB)B?1?B?1?A,所以
A?B?1?A(A?1?B)B?1?AA?1?BB?1
因为B?2,所以B?1?B?1?1,因此 21?3. 22A?B?1?AA?1?BB?1?3?2?三、解答题
(15)【解析】因为f(x)??(x?t)edt?x1x22?t22?x21x2edt??te?tdt,
12?t2x2所以f?(x)?2x?edt?2xe1x224x2?t23?x4?2xe3?x4?2x?e?tdt,令f?(x)?0,则x?0,x??1.
1又f??(x)?2?e?tdt?4x2e?x,则f??(0)?2?e?tdt?0,所以
1021f(0)??是极大值.
01121(0?t)e?tdt??e?t?(1?e?1)
22021而f??(?1)?4e?1?0,所以f(?1)?0为极小值.
又因为当x?1时,f?(x)?0；0?x?1时,f?(x)?0；?1?x?0时,f?(x)?0；x??1时,
f?(x)?0,所以f(x)的单调递减区间为(??,?1)(?1,0)?(1?,.
n(0,,f(x)的单调递增区间为
(16) 【解析】 (I)当0?x?1时0?ln(1?x)?x,故?ln(1?t)??tn,所以
lnt?ln(1?t)??lnttn,
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