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第三讲 韦达定理及其应用
【趣题引路】
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？
ab2?b2?12004
已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。
a2
4
2
2
解析 由①知1+2 即(
11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa 由②知(b2)2-2b2-1=0,④
12
,b为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. a112
由韦达定理,得 +b2=2, ·b=-1.
aa ∴
ab2?b2?112b22004
∴=[(+b)+ ]=(2-1)2004=1.
aaa点评
本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,?难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.
【知识延伸】
例1 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7
- 1 -
1,求a的值. 4www.czsx.com.cn
解析 设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有
a?x?x??,??122 ?
?2a?1?x?x?.12??222 于是,xx1=(x1+x2)2-2x1·x2 ?x2 =(- =
a2?2a?1)-2· 221（a2+8a-4） 411依题设,得(a2+8a-4)=7.
44解得a=-11或3.
注意到x1,x2?为方程的两个实数根, 则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评
韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足△≥0这一前提条件.
例2 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,?方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,?方程的两个根一个大于1,另一个小于1.
解析 (1)据题意知,m应当满足条件
???4m2?4(m?2)?0, ?
?x1?x2?m?2?0. 即 ?①② ?(m?1)(m?1)?0,
m??2.? 由①,得m>2或m<-1,
∴m<-2.
(2)m应当满足的条件是
???4m2?4(m?2)?0,? ?x1?x2??2m?0,
?x?x?m?2?0.?12- 2 -
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?m?2或m??1,? 即?m?0,
?m??2.? ∴-2 ???4m2?4(m?2)?0, (3)m应当满足的条件是? ?(x1?1)(x2?1)?0. 即??m?2或m??1, ?m?2?(?2m)?1?0.?m?2或m??1, ∴? m??1.? ∴m<-1. 点评 若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解. 【好题妙解】 佳题新题品味 例 已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, ① a2+b2+c2=84. ② ②可变为(a+c)+2-2ac=84-b2, ③ 5b2?84 ①代入③,得 ac=, ④ 25b2?84 ∴a、c是关于x的一元二次方程x-2bx+=0的两个不相等的正实数根. 22 ?5b2?842??4b?4??0,??2 ?2 ?5b?84?0.??2- 3 - www.czsx.com.cn 即16 又b为正整数,故b=5. 点评 韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=- bc，x1·x2=,那么x1·x2?是一元二次方程aaax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84?转变为 5b2?84ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件. 2 中考真题欣赏 例1 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,?y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以y1，y2为根的一元二次方程. 解析 ∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △=(4b)2-4×4×7b=0, 即b2-7b=0. ∴b1=0,b2=7. 当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=4,y2=1. 则y1+y2=3，y1·y2=2 y1，y2为根的一元二次方程为y2-3y+2=0. ∴ 以点评 本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视. 例2 (2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0?的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;?若不能同号,请说明理由. 解析 ∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根, ∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0, ∴m≤ 1. 2 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根. - 4 - www.czsx.com.cn ∴x1+x2=-(m-1),x1·x2= 12 m4 假设x1,x2同号,则有两种可能: ①若x1>0,x2>0,则 ??(m?1)?0,?x1?x2?0,? ? 即?12 m?0.?x1?x2?0.??4 ∴m<1且m≠0,此时,m≤ ②若x1<0,x2<0则有 1且m≠0; 2??(m?1)?0,?x1?x2?0,? ?即?12 m?0.?x1?x2?0.??4 而m≤ 1时方程才有实数根, 21且m≠0时,方程的两实根同号. 2 ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m的取值范围为m≤ 点评 存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,?反之则存在. 竞赛样题展示 例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k值:使关于x?的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数. 解析 (1)当k=0时,方程为x-1=0,有整数根1; (2)当k≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x1,x2,则 k?11?x?x????1?,??12kk ? k?11?x?x??1?.12?kk? 由①-②,得x1+x2-x1·x2=-2, 即(x1-1)(x2-1)=3. ∵x1,x2为整数, ② ① - 5 -