韦达定理(3)

www.czsx.com.cn

6.已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.

B卷答案 1.

1(403-8517). 8由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17, 又α>β,故α-β=17.

令A=

2?2+3β2,B=

2?+3α2,则

A+B=

?+

2?-

+3(α2+β2) =

2(???)?? +3(α2+β2)=

2?7403+3×33=, ① 84A- B==

22??+3β2 -3α2=

2(???)??+3(β-α)(β+α)

=(β-α)[

228517+3(β+α)]=- 17(+3×7)=- . ②

8??41(403-8517). 8 ①,②两式相加,得A=2.

3. 2设1 234 567 890=m,则有2a2+ma+3=0,3b2+mb+2=0,即2(

- 11 -

121)+m·+3=0 , bbwww.czsx.com.cn

1, b1a13故a与是二次方程2x2+mx+3=0的两个不等实根,故=a·=.

bbb24503. .由韦达定理得, 49又a≠

x1+x2=2(k-2),x1·x2=k2+3k+5.

∴x12+?x22=?(?x1+?x2)2-2x1x2=4(k-2)2-2(k2+3k+5)=2(k-又△=4(k-2)2-4(k2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-故只有k=-4.

112109)-

221, 71450时,x12+x22取最小值为. 7493?x3-x2

即1>(x3?x2)=(x3?x2)?4x2?x3=4?4m,解得m>

223. 4 又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴5.

3

由于它们在数轴上等距排列,

?-?=?-(-?) 即β=9α,①

?????5又?

???4?k?由此求得k=

②③ 7且满足△=25+k-16>0. 46.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,

∴a、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根, 即为方程x2+(c+d)x+cd-?1=0的两个实根, ∴a+b=-(c+d),ab=cd-1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2

- 12 -

www.czsx.com.cn

=(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.

- 13 -