银川一中2015届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
命题人：蔡伟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z? A．?i（其中i为虚数单位）的虚部是 1?i
B．i
1 212C．
1 2
D．?1i 22. 已知：p:1?1.q:|x?a|?1若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 x?2A．(2,3] B．[2,3] C．(2,3) D．(??,3]
A．3 则该四棱锥的体积等于 A．1 C．3
B．2 D．4
C．5 D．6
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3?a4?2,3S2?a3?2,则公比q?
B．4
4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，
5．在?ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，其中
a?5,b?3,sinB?属于范围
2，则角A的取值一定 2?? A．(,)
42?3? B．(,)
24?3????3?C．(0,)?(,?) D．(,)?(,)
4442246．为得到函数y?sin(2x??3图象，只需把函数y?sin2x的图象上所有点的 )的导函数．．．
A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移
B．纵坐标缩短到原来的
?6
1?倍，横坐标向左平移 23
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的
5? 1215?倍，横坐标向左平移 267．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ．．．A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面 ABC
8．已知函数f(x)?x2?2x，g(x)?ax?2?a?0?，若?x1?[?1,2]，?x2?[?1,2]，使得
f?x1??g?x2?，则实数a的取值范围是
A．(0,] B．[,3] C．(0,3] D．[3,??)
1212AC?7,AB?AC?6，则?ABC面积的最大值为 9．在?ABC中，若AB·A．24 B．16 C．12 D．83 10．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的
长为
1236
A． B． C． D．
2236
?3x?y?6?0?11．设x,y满足约束条件?x?y?2?0 ，若目标函数z?ax?by?a?0,b?0?的值是最大值为
?x?0,y?0?12，则A．
23?的最小值为 ab25811 B． C． D． 4
633x12．已知函数f(x)?e?ax?b，若f(x)?0恒成立，则ab的最大值为
A．e B．e2 C．e D．
e 2第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那
么原平面图形的面积是___________. 14．已知a??10(ex?2x)dx(e为自然对数的底数),函数
?lnx,x?0f(x)???x,则f(a)?f(log21)?__________.
6?2,x?015．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体
ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点， 则点M到直线AD1距离的最小值是________．
16．定义方程f(x)?f?(x)的实数根xo叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)?x，
??)）的“新驻点”分别为?，?，?，那么?，?，?h(x)?ln(x?1)，?(x)?cosx（x?(，?的大小关系是 ．
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?23sin(x??)cos(x?)?sin2x?a的最大值为1．
44?（1）求常数a的值；
（2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）若将f(x)的图象向左平移
?6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,?2]上
的最大值和最小值． 18. （本小题满分12分）
如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°， PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC. (1)求证：平面MOE∥平面PAC； (2)求证：平面PAC⊥平面PCB；
(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值． 19．（本小题满分12分）
已知数列?an?中，a1?3，前项和Sn?(1) 求数列?an?的通项公式； (2) 设数列???1?的前项和为Tn，是否存在实数M，使得Tna?a?nn?1?1(n?1)(an?1)?1． 2?M对一切正整数都成立？
若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长． 21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?xlnx（e为无理数，e?2.718） （1）求函数f(x)在点?e,f(e)?处的切线方程； （2）设实数a?1，求函数f(x)在?a,2a?上的最小值； 2e（3）若k为正整数，且f(x)??k?1?x?k对任意x?1恒成立，求k的最大值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上， 且AD=
12AC， AE= AB，BD，CE相交于点F。 33 （1）求证：A，E，F，D四点共圆；
（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径． 23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
C:?sin2??2acos?(a?0)，已知过点P(?2,?4)的直线l的参数方程为
?x??2?????y??4???2t2 （t为参数），直线l与曲线C分别交于M,N两点。 2t2（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数a(a?0)和b,不等式|a?b|?|a?b|?M?|a|恒成立,记实数M的最大值是m.
(1)求m的值; (2)解不等式|x?1|?|x?2|?m.
宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 C A B B D C C D 答案 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 3
13. 2?2 14. 7 15. a 16. ?>?>?
3
三、解答题：
17.（1）?f?x??3sin?2x?9 C 10 D 11 A 12 D ??????sin2x?a?3cos2x?sin2x?a 2?
????2sin?2x???a?1
3???2?a?1，?a??1
（2）由??2?2k??2x??3??2?2k?，解得
?5????5???k??x??k?，所以函数的单调递增区间???k?,?k??,k?Z 121212?12?（3）?将f?x?的图象向左平移
?6个单位，得到函数g?x?的图象，
????????2?????g?x??f?x???2sin?2?x?????2sin?2x??
6633????????2??2?5??????x??0,?,?2x???,?
23???33?2??32?2??时，sin?2x?，g?x?取最大值3?1 ??当2x???333?2?2?3?2???当2x?时，sin?2x?????1，g?x?取最小值-3.
323??18. [解析] (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以OE∥PA.
因为PA?平面PAC，OE?平面PAC， 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC，
又AC?平面PAC，OM?平面PAC， 所以OM∥平面PAC.
因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC.
(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC.
因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2， 所以CB＝2cos30°＝3，AC＝1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC，
1313
所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.
2222
33
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(，，0)．
22
→→
所以CP＝(1,0,2)，CB＝(0，3，0)．