设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．
→?CP＝0，?m·
因为?
→?CB＝0.?m·
?x，y，z，0，＝0，?x＋2z＝0，
所以?即?
?x，y，z，3，＝0.?3y＝0.
令z＝1，则x＝－2，y＝0. 所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，3，1)．
m·n11
所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝.
|m|·|n|5519. 解：（1）（解法一）∵Sn? ∴Sn?1?
1(n?1)(an?1)?1 21(n?2)(an?1?1)?1 2 ∴an?1?Sn?1?Sn
1 ?[(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)]
2 整理得nan?1?(n?1)an?1
∴(n?1)an?2?(n?2)an?1?1
两式相减得(n?1)an?2?nan?1?(n?2)an?1?(n?1)an 即 (n?1)an?2?2(n?1)an?1?(n?1)an?0 ∴an?2?2an?1?an?0，
即an?2?an?1?an?1?an
∴ 数列?an?是等差数列
且a1?3，得a2?5，则公差d?2
∴ an?2n?1
1(n?1)(an?1)?1 21 ∴Sn?1?(n?2)(an?1?1)?1
2 ∴an?1?Sn?1?Sn
1 ?[(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)]
2 整理得nan?1?(n?1)an?1
aa1 等式两边同时除以n(n?1)得 n?1?n?，
n?1nn(n?1)aa111?? 即n?1?n??n?1nn(n?1)n?1n（解法二） ∵Sn? 累加得
ananan?1an?1an?2aaa??????2?1?1 nnn?1n?1n?22111111111 ?????????1?3
nn?1n?1n?2n?2n?321 ??2
n 得an?2n?1
（2） 由（1）知an?2n?1
11111?(?) ?anan?1(2n?1)(2n?3)22n?12n?3111111111 ∴ Tn?(????????)
235572n?12n?12n?12n?3111 ?(?)
232n?31 ?
6 ∴
则要使得Tn?M对一切正整数都成立，只要(Tn)max?M，所以只要M? ∴ 存在实数M，使得Tn?M对一切正整数都成立，
且M的最小值为
1 620. [解析] 如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－2，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．
→→
(1)易得AC＝(－2，－2，5)，A1B1＝(－22，0,0)，于是cos
→→AC·A1B142→→
〈AC，A1B1〉＝＝＝.
→→223|AC|·|A1B1|3×
2
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为. 3
→→
(2)易知AA1＝(0,22，0)，A1C1＝(－2，－2，5)． 设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则
→?A1C1＝0，?m·?－2x－2y＋5z＝0，?即?
→22y＝0.???m、AA1＝0.
16
不妨令x＝5，可得m＝(5，0，2)．
同样的，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则
→?A1C1＝0，?n·?－2x－2y＋5z＝0，?即?
→－22x＝0.??A1B1＝0.?n·
不妨令y＝5，可得n＝(0，5，2)．
m·n22
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
|m|·|n|7·7735
从而sin〈m，n〉＝. 7
35所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为. 72325?
(3)由N为棱B1C1的中点，得N?，. ，22??2
2325?→
设M(a，b,0)，则MN＝?－a，， －b，22??2
→→?A1B1＝0，?MN·
由MN⊥平面A1B1C1，得?
→→?MN·A1C1＝0.?
?2－a?－22＝0，
???2?即?
?2－a?－2＋?32－b?－???2??2?
5
2＋·5＝0.
2
?a＝22，解得?
2b＝?4.
故M?
22?2?→?2
，，0，因此BM＝，，0， 4?2??24?
10→
所以线段BM的长|BM|＝. 4
21.⑴∵f(x)定义域为(0,??)f?(x)?lnx?1,f(e)?e又f?(e)?2
?函数y?f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为:y?2(x?e)?e,即y?2x?e------3分
1?1?（2）∵f?(x)?lnx?1令f?(x)?0得x? 当x??0,?时,F?(x)?0，f(x)单调递减；
e?e??1?当x??,???时,F?(x)?0，f(x)单调递增.
?e?1当a?时,f(x)在[a,2a]单调递增,[f(x)]min?f(a)?alna,
e1111?1?当?a?时,得a??2a,[f(x)]min?f???? 2eeee?e?(3) f(x)?(k?1)x?k对任意x?1恒成立，
xlnx?x即xlnx?x?k(x?1)对任意x?1恒成立， 即?k对任意x?1恒成立
x?1xlnx?xx?lnx?2令g(x)?(x?1)?g'(x)?(x?1)
x?1(x?1)2x?1令h(x)?x?lnx?2(x?1)?h'(x)??0?h(x)在(1,??)上单调递增。
x∵h(3)?1?ln3?0,h(4)?2?ln4?0,
∴所以h(x)存在唯一零点x0?(3,4)，即x0?lnx0?2?0。
当x?(1,x0)时，h(x)?h(x0)?0?g'(x)?0； 当x?(x0,??)时，h(x)?h(x0)?0?g'(x)?0；
∴g(x)在x?(1,x0)时单调递减；在x?(x0,??)时，单调递增； ∴[g(x)]min?g(x0)?x0(lnx0?1)x0(x0?1)??x0
x0?1x0?1由题意k?[g(x)]min?x0，又因为k?Z，所以k的最大值是3
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
21（Ⅰ）证明：AE?AB，?BE?AB.
331在正△ABC中，AD?AC，?AD?BE，
3又AB?BC，?BAD??CBE，
?△BAD≌△CBE，??ADB??BEC，
即?ADF??AEF?π，所以A，E，F，D四点共圆. （Ⅱ）解：如图6，取AE的中点G，连结GD，则AG?GE?1AE. 2图6
212AB，?AG?GE?AB?， 33312AD?AC?，?DAE?60?，
33?△AGD为正三角形，
22?GD?AG?AD?，即GA?GE?GD?，
33AE?所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为
2. 3由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为2３解：（Ⅰ）C: y?2ax,l:x?y?2?0
22.…（10分） 312t?(42?2a)t?16?4a?0（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得2
?t1?t2?82?22a,t1t2?32?8a因为|PM|?|t1|,|PN|?|t2|,|MN|?|t1?t2| 由题意知， |t1?t2|2?|t1t2|?(t1?t2)2?5t1t2 代入得 a?1
|a?b|?|a?b|24．解: (1)不等式|a?b|?|a?b|?M?|a|恒成立,即M?对于任意的实数
|a|a(a?0)和b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为|a?b|?|a?b|?|(a?b)?(a?b)|?2|a|,当且仅当(a?b)(a?b)?0时等号成立,即|a|?|b||a?b|?|a?b||a?b|?|a?b|?2成立,也就是时,的最小值是2.
|a||a|15(2) |x?1|?|x?2|?2. 解法1:利用绝对值的意义得: ?x?
22
解法2:当x?1时,原不等式化为?(x?1)?(x?2)?2,解得x?1,所以x的取值范围是21?x?1.当1?x?2时,原不等式化为(x?1)?(x?2)?2 ,得x的取值范围是1?x?2.25当x?2时,原不等式化为(x?1)?(x?2)?2,解得x?,
2515所以x的取值范围是2?x?.综上所述: x的取值范围是?x?.
222解法3:构造函数y?|x?1|?|x?2|?2作 y??2x?1,(x?1)15?y???1,(1?x?2)的图象,利用图象有y?0得: ?x?. 1 22?2x?5,(x?2)21O?0.52.5x
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