第四章 李亚普诺夫稳定性
A李亚普诺夫第一法：
（1）线性系统：判断系统矩阵所有特征根均有负实部。
（2）非线性系统：近似线性化，判断雅可比矩阵是否全部有负实根。 B李亚普诺夫第二法：
（1）李亚普诺夫函数（二次型函数） （2）李亚普诺夫方程：（3）克拉索夫斯基方法：
雅可比矩阵
，
相应的李氏函数
1 确定使下列二次型函数为正定时，待定常数a, b, c的取值范围。
222(b) V(x)?ax1?bx2?cx3?2x1x1?4x2x3?2x3x1；
解：
V(x)?x1?x21?1??x1??a??x3?1b?2??x2? ??????1?2c????x3??1?1??ab?2?正定，即 要使二次型函数正定，则需P??1?????1?2c??a?0，ab?1?0，abc?4?b?4a?c?0。
2（课后习题4-10） 用李亚普诺夫第二方法证明当a1?0,a2?0时系统
?1??x2?x? ?2?x?????2???a1x1?a2x1x2?的原点是大范围渐进稳定的。
证：
?1?x?2?0，解得x1?x2?0 (i) 确定平衡态，令x22(ii) 令V(x)?a1x1，则 ?x222?(x)?2axx??V111?2x2x2??2a2x1x2?0
?(x)??2ax2x2不沿任何运动轨迹恒等于0 (iii) 判断V212?(x)??2ax2x2?0，则有x?0或x?0 若V21212?(x)不沿任何运若x1?0，则必有x2?0；若x2?0，则必有x1?0。所以V动轨迹恒等于0，于是原点渐近稳定。
(iv) 且x??时，V(x)??，所以，原点是大范围渐近稳定的。
3 （课后习题4-11）设非线性系统
?1?ax1?x2x5?2?x1?x2?bx2x
试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。
解：
应用克拉索夫斯基方法
Q(x)??[JT(x)P?PJ(x)]，取P?I，即有
52?TPx??x?Tx??(ax1?x2)2?(x1?x2?bx2V(x)?x)?0
且有
第五章 线性定常系统的状态反馈
A三种反馈形式：（1）状态反馈；（2）输出反馈；（3）由输出到状态导数的反馈
B闭环系统的能控性和能观性:
(1) 状态反馈不改变受控系统的能控性,但不保证系统能观性不变； (2) 输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。
C 极点配置：
（1）状态反馈进行闭环系统任意极点配置的条件为系统完全能控； （2）求法：期望特征多项式 = 设计的闭环特征多项式
D 系统镇定
（1）系统镇定是系统极点配置问题的特殊情况；
（2）利用状态反馈进行镇定的充要条件：不能控部分为渐近稳定（不能控部分的极点具有负实部）。
E 观测器设计
???(A?GC)x??Bu?Gy （1）观测器方程：x （2）观测器极点配置
F 基于观测器的状态反馈
（1）观测器与状态反馈分别设计：分离原理 （2）极点配置
1 已知系统状态方程
?11??1????xx???1?u． 01????计算状态反馈矩阵，使闭环极点为?2和?3。
解：
?12?(i) QC??，rank QC?2，系统完全可控。可由状态反馈任意配置闭??11?环系统的极点。
(ii) 希望的极点为s1??2，s2??3，所以希望的闭环特征多项式为
fd(s)?(s?2)(s?3)?s2?5s?6
设状态反馈矩阵为fT??f1f2?，则闭环特征多项式为
?s?1?f1fc(s)?det(sI?A?bfT)?det?f1?f2?1?2?s?(f1?f2?2)s?1?f2 ?s?1?f2?由fd(s)?fc(s)可得
f1?f2?2?5， 1?f2?6。
解得f1?12，f2??5。
(iii) 实现闭环极点配置的状态反馈矩阵是fT??f1f2???12?5?。
2 试判别系统的状态反馈可镇定性．如果可镇定，求状态反馈矩阵的全解．
0?1??1?0? A??0?20?，b??0?．
????2?????10??1??解：
先判断可控性
?0?1?3?QC??001?，rank QC?2，不完全可控。 ??0???12??0?10??201?取T??001?，则T?1???100?，于是
???????120???010???0?10??1?~~A?T?1AT??130?，b?T?1b??0?
???????0???00?2???0?1?~?1?~~~，为可控部分；，A11??b?bA??212?0为不可控部分，但不22????13??0?可控部分极点为 ?2，是渐近稳定的，因此该系统状态反馈可镇定。 ~~~~取fT?f1f2f3，则
??~~?s?f11?f2?~~~det(sI?A?BF)?det??1s?3?00?~f3??0? s?2??~~~?(s?2)s2?(f1?3)s?3f1?f2?1 ??~~~取f1?3，?3f1?f2??1，即可镇定该系统。则
~~~fT?fTT?1?2f1?f2?~f3~f1 ?~~~~~其中f1?3，2f1?f2?1? f1，f3可取任意值。
3 给定受控系统系数矩阵如下
?1??10?，，c??2?1?． b?A??????1??00?设计受控系统的基本观测器，使观测器极点为?1两重根．
解：
(i) 判断可观性.
?2?1?，rank QO?2，系统的状态完全可观测，观测器的极点可以QO????20?任意配置。
(ii) 希望的观测器的特征多项式为
fd(s)?(s?1)2?s2?2s?1
设观测误差输出反馈矩阵为G??ab?，则闭环特征多项式为
T?s2a?1?a?fc(s)?det(sI?A?Gc)?det??s2?(2a?b?1)s?b ?s?b??2b由fd(s)?fc(s)求得G??21?。所以观测器方程为
T??32??1??2??????xx?u???1??1?y ?21??????