整理得到拟合曲线满足的方程：
（6.3）
或
称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程：
a=
=
2.3 二次拟合函数
给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。
设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：
（6.4）
由多元函数的极值原理，的极小值满足
整理得二次多项式函数拟合的法方程：
（6.5）
解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶
。方程组（6.5）称为多项式拟合
时，法方程的系数矩阵是病
态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。
2.4 多次拟合函数
假设给定数据点(xi,yi)(i=0,1,?,m)，?为所有次数不超过n(n?m)的多项式构
n成的函数类，现求一
I?pn(x)??ak?0kx??k,使得
m2??pi?0mn(xi)?yi?2?n?k????akxi?yi??mini?0?k?0? (1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的pn(x)称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。? 显然?
mnkI??(?ai?0k?0xi?yi)k2
为a0,a1,?an的多元函数，因此上述问题即为求I?I(a0,a1,?an)的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得
?I?ajmnkj?2?(?akxi?yi)xi?0,i?0k?0j?0,1,?,n (2)
即
nmj?kim?k?0?(?xi?0)ak??xi?0jiyi,j?0,1,?,n (3)
（3）是关于a0,a1,?an的线性方程组，用矩阵表示为
??m?1?m?xi??i?0???mn?xi???i?0m?xi?0mi???xi?02i?m?xi?0n?1i???m?y?x??i??ai?0??i?00???m??mn?1???xi??a1????xiyi??i?0i?0???????????a?m?mn2n??n???xiyi??xi????i?0?i?0?nim (4)
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。?
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出ak(k=0,1,?，n)，从而可得多项式?
npn(x)??ak?0kxk? (5)
可以证明，式（5）中的pn(x)满足式（1），即pn(x)为所求的拟合多项式。我
们把i?0??pn(xi)?myi?2称为最小二乘拟合多项式pn(x)的平方误差，记作?
r22???pi?0mn(xi)?yi?2
由式(2)可得?
r22mnmkki??i?0y?2i?a(?xk?0i?0yi) (6)?
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；?
mmji(2) 列表计算 i?0?x(j?0,1,?,2n)和i?0?xjiyi(j?0,1,?,2n)；?
(3) 写出正规方程组，求出 a0,a1,?an；?
n(4) 写出拟合多项式
pn(x)??ak?0kxk。?
2.5 本章小结
本章阐述了数据拟合的基本理论及其方法。用最小二乘法论理引出了线性以及二次曲线拟合的方法，并推广至多元拟合。分别详细介绍了各种方法的理论及其公式。并分别对曲线拟合以及多元拟合的求解的基本步骤做出了归纳。通过本章可以掌握数据拟合的基本方法以及理论基础。
第三章 MATLAB解应用问题实例
3.1 数据拟合在物理实验中的应用
现在有一为了测量线性电阻元件伏安特性的物理实验。实验数据见表3-1。
表3-1 测量线性电阻元件伏安特性的实验数据
i 1 2 3 4 5 Ii Ui/V i 6 7 8 9 10 Ii/A Ui/V 0 0.009 0.020 0.030 0.039 0 1 2 3 4 0.049 O.061 0.073 0.082 0.092 5 6 7 8 9 由于试验的目的是研究关于线性电阻的伏安特性，所以设拟合多项式为
U/V?a0?a1I/A (3-1)
将数据表代入数据拟合的基本公式里，得此实验的正则方程组
?10a0?0.455a1?45 0.455a0?0.0295a1=2.9010
它的解为a0= 0.1062 ，a1= 96.5662 因此这一组数据的最小二乘法拟合为
U/V=0.1062+96.5662I/A
n=1时，其各拟合图像为：
利用最最小二乘法来分析物理实验里所测得的实验数据，我们可以根据测得的数据拟合出近似函数，并得到比较精确的解。总之，在实际的实验中，我们应当采用尽可能多的方法去分析数据，使得实验更有意义。
3.2 数据拟合在经济监测中的应用
根据1995年到2003年中国GDP增长率变化情况,建立回归方程,具体数据如下:
表3.3.1 1995年到2003年中国GDP增长率变化
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 GDP 10.5 9.6 8.8 7.8 7.1 8 7.3 8 9.1
数据来源：中国商业部GDP报表(GDP为百分比)
为了研究的方便,年份从1995年到2003年分别用1到9这9个数字代替.由表3.1可以看出GDP的增长率先减后增,如果采用线性回归,由于拟合误差太大,严重影响了预测的效果.观察其变化规律采用抛物线回归的方法是比较合适的,令拟合多项式为
n E(x)??ak?0k x （3.1）
k我们采用的是抛物线的形式,故n=2,即