《概率统计》专题练习（高考题选编）
1、如图4， EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随
机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 （1）P（2）P（B|A）=______ （A）=______；
2、给定k?N*，设函数f:N*?N*满足：对于任意大于k的正整数nf(n)?n?k （1）设k?1，则其中一个函数f在n?1处的函数值为 ；
（2）设k?4，且当n?4时，2?f(n)?3，则不同的函数f的个数为 。
3. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
离大于
1214，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.
则小波周末不在家看书的概率为 . ．
4. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。
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5. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p?,p?,p?p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被
派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；
（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目
的均值（数字期望）达到最小。
6. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，
在图中以X表示。
（1）如果X?8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X?9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分
布列和数学期望。
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7．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准A，
X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B
生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
x1 5 0．4 6 7 b 8 0．1 P a 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数
组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买
性？说明理由．
产品的等级系数的数学期望注：（1）产品的“性价比”=；
产品的零售价 （2）“性价比”大的产品更具可购买性．
8．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的
每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
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9．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过
两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段 内的频率如下表：
时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 0 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． （1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X
的分布列和数学期望 .
10. 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数?的分布列与期望。
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《概率统计》专题练习
1、如图4， EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆
内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 （1）P（2）P（B|A）=______ （A）=______；答案：（1）
2?；（2）P（B|A）=14
S正S圆=2（A）=解析：（1）由几何概型概率计算公式可得P?； 2?1（2）由条件概率的计算公式可得P（B|A）=P（AB）?41==
2P（A）4?2、给定k?N*，设函数f:N*?N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)?n?k （1）设k?1，则其中一个函数f在n?1处的函数值为 ；
（2）设k?4，且当n?4时，2?f(n)?3，则不同的函数f的个数为 。 答案：（1）a(a为正整数)，（2）16
解析：（1）由题可知f(n)?N*，而k?1时，n?1则f(n)?n?1?N*，故只须f(1)?N*，
故f(1)?a(a为正整数)。
（2）由题可知k?4，n?4则f(n)?n?4?N*，而n?4时，2?f(n)?3即f(n)?{2,3}，即n?{1,2,3,4}，f(n)?{2,3}，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为24?16。 3. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
离大于
12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
14，则去打篮球；否则，在家看书.
则小波周末不在家看书的概率为 . ．【答案】
1316【解析】P?[1?()]?()?24121234?116?1316
4. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I）P(A)?0.5,P(B)?0.3,C?A?B,
? P(C)?P(AB)?P(A)?P(B?)??D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2, ????3分
0
????6分
????10分
（II）
X~B(100,0.2)，即X服从二项分布，
所以期望EX?100?0.2?20.
????12分
5