5. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p?,p?,p?p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被
派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；
（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目
的均值（数字期望）达到最小。 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
(1?p1)(1?p2)(1?p3)，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，
并等于
1?(1?p1)(1?p2)(1?p3)?p1?p2?p3?p1p2?p2p3?p3p1?p1p2p3.
（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布
列为 X P
1 q1 2 (1?q1)q2 3 (1?q1)(1?q2) 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 EX?q1?2(1?q1)q2?3(1?q1)(1?q2)?3?2q1?q2?q1q2. （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX?3?2p1?p2?p1p2.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有
3?2q1?q2?q1q2?3?2p1?p2?p1p2,……………………（*）
事实上，??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2)
?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)
?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)((p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]?0. 即（*）成立.
（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3?(q1?q2)?q1q2?q1,若交换前两人的派
出顺序，则变为3?(q1?q2)?q1q2?q1,.由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值. （ii）也可将（II）中所求的EX改写为3?2q1?q2?q1q2，或交换后两人的派出顺序，则变为3?2q1?q3?q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3?q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值. 综合（i）（ii）可知，当(q1,q2,q3)?(p1,p2,p3)时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. 6. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，
6
在图中以X表示。
（1）如果X?8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X?9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分
布列和数学期望。 （注：方差s2?1n
[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]，其中x为x1，x2，?，xn的平均数）
8?8?9?104354)?(8?2222解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为x?方差为s?2?3543542;
354)?(10?214[(8?)?(9?354)]?21116.
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学
的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该
事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得P(Y?18)?14;P(Y?19)?14216?18.
;P(Y?21)?18.
;P(Y?20)?14所以随机变量Y的分布列为： Y P 181117 1818 1411819 1420 1421 18 EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19
4447．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 x1 a b 0．4 0．1 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数
组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买
7
P 性？说明理由．
；
产品的零售价 （2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解：（I）因为EX1?6,所以5?0.4?6a?7b?8?0.1?6,即6a?7b?3.2.
又由X1的概率分布列得0.4?a?b?0.1?1,即a?b?0.5.
?6a?7b?3.2,由?解得a?b?0.5.??a?0.3, ?b?0.2.?注：（1）产品的“性价比”=
产品的等级系数的数学期望（II）由已知得，样本的频率分布表如下： 3 4 5 X2 f 6 0．1 7 0．1 8 0．1 0．3 0．2 0．2 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 X 2P 所以 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 EX2?3P(X2?3)?4P(X2?4)?5P(X2?5)?6P(X2?6)?7P(X2?7)?8P(X2?8)
?3?0.3?4?0.2?5?0.2?6?0.1?7?0.1?8?0.1?4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
664.84?1. ?1.2.
据此，乙厂的产品更具可购买性。
8．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学
期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的
每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 403 412 418 408 423 400 413 品种乙 419 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1,x2,???,xn的的样本方差s2?样本平均数．
8 1n其中x[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]，
222为
解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为
P(X?0)?1C481?3170?,8P(X?1)?C4C4C48235,
??4分 X的数学期望为
E(X)?0?170?1?835?2?1835?3?835?4?170?2. ??6分
P(X?2)?C4C4C34812?1835835.,P(X?3)?P(X?4)?C4C4C1C8448?1, （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x甲?S甲?18181818(403?397?390?404?388?400?412?406)?400,22222222?70
(3?(?3)?(?10)?4?(?12)?0?12?6)?57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x乙?S乙?2(419?403?412?418?408?423?400?413)?412,
(7?(?9)?0?6?(?4)?11?(?12)?1)?56.22222222 ??????10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
9．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过 两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段 内的频率如下表： 时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 0 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． （1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X
的分布列和数学期望 . 【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，
然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望． 【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， Bi表示事件“甲选择路径
Li时，50分钟内赶到火车站”，i?1，2．
用频率估计相应的概率，则有：
P(A1)?0.1?0.2?0.3?0.6，P(A2)?0.1?0.4?0.5； ∵P(A1)?P(A2)，∴甲应选择路径L1；
P(B1)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，P(B2)?0.1?0.4?0.4?0.9；
∵P(B2)?P(B1)，∴乙应选择路径L2．
9
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)?0.6，P(B)?0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2， ∴P(X?0)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.4?0.1?0.04，
P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42P(X?2)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.9?0.54，
∴X的分布列为
0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5． 10. 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数?的分布列与期望。
解：这是等可能性事件的概率计算问题. （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C42?22种，273解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
1记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?.
3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
821222P4(2)?C4()()?.
3327 （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又
31P(??1)?4?,273 2132224C3(C2C4?C4C2)14C3(2?2)14P(??2)??(或P(??2)??)4427273393综上知，ξ有分布列 1 2 3 ξ P(??3)?C3C4C24121X 从而恰有2人申请A片区房源的概率为
C4?2422?8.
?4(或P(??3)?C4A33423?49).
P 127 127?2?14271427 ?3?49?49 .
从而有E??1?
652710
11