2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）
（B卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（5分）（2016春?东莞市期末）复数z=i+i的实部与虚部分别是（ ） A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1 2．（5分）（2016春?东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ） A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适
22
D．用相关指数R来刻画回归效果，R越小说明拟合效果越好 3．（5分）（2016春?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）
A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若?=?（≠），则=” B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?=?+?” C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（?）?=?（?）” D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若?=0，则=或=”
4．（5分）（2014?潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
2
A．方程x+ax+b=0没有实根
2
B．方程x+ax+b=0至多有一个实根
2
C．方程x+ax+b=0至多有两个实根
2
D．方程x+ax+b=0恰好有两个实根 5．（5分）（2016春?东莞市期末）已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（5分）（2016春?东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（ ） A．0.5 B．1
C．1.5 D．2
2
2
2
7．（5分）（2016春?东莞市期末）抛物线y=3﹣x与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（ ）
A．10
B．
C．11
D．
n
*
8．（5分）（2016春?东莞市期末）若（3x+）（n∈N）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（5分）（2016春?东莞市期末）有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（ ） A．36 B．72 C．144 D．288
10．（5分）（2016春?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（5分）（2016春?东莞市期末）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的
3
“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．β＞γ＞α D．γ＞α＞β 12．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=
在点（1，2）
处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（ ） A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2） C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上． 13．（5分）（2016春?东莞市期末）用1，2，3，4这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数．
3
14．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=3x﹣x，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为 ．
15．（5分）（2016?梅州二模）（x+﹣2）的展开式中的常数项为 （用数字作答） 16．（5分）（2016春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b5= ； （2）b2n﹣1= ．
5
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2016春?东莞市期末）已知复数z1=2+a+i，z2=3a+ai（a为实数，i虚数单位）且z1+z2是纯虚数．
2
（1）求a的值，并求z1的共轭复数； （2）求
的值．
2
18．（12分）（2016春?东莞市期末）某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：
☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆ 2 7 9 20 12 小学 3 9 18 12 8 中学 （备注：“☆”表示评分等级的星级，例如“☆☆☆”表示3星级．） （1）从评分等级为5星级的学校中随机选取两所学校，求恰有一所学校是中学的概率； （2）规定：评分等级在4星级以上（含4星）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用是否满意与学校类别有关系？ 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 19．（12分）（2016春?东莞市期末）“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件． （1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．
2
20．（12分）（2016春?东莞市期末）已知f（x）=lnx+ax﹣ax+5，a∈R． （1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围． 21．（12分）（2016春?东莞市期末）已知f（n）=1+
*
+++…+，g（n）=﹣，
n∈N．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系； （2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．
22．（12分）（2016春?东莞市期末）设f（x）=e﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数． （1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程； （2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．
x
2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理
科）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．
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1．（5分）（2016春?东莞市期末）复数z=i+i的实部与虚部分别是（ ） A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1
【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．
【解答】解：复数z=i+i=﹣1+i． 复数的实部与虚部分别是：﹣1；1． 故选：A．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 2．（5分）（2016春?东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ） A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适
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D．用相关指数R来刻画回归效果，R越小说明拟合效果越好
【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．
【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确； 可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；
2
相关指数R取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确． 故选：D． 【点评】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．属于基础题． 3．（5分）（2016春?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）
A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若?=?（≠），则=” B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?=?+?” C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（?）?=?（?）”
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D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若?=0，则=或=”
【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：由条件，得出（﹣）?=0，
∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确； 向量的乘法满足分配律，故B正确；
在向量中（?）?与共线，?（?）与共线，故C不正确； 若?=0，则⊥，=或=不一定成立，故D不正确．
故选：B．
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
4．（5分）（2014?潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
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A．方程x+ax+b=0没有实根
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B．方程x+ax+b=0至多有一个实根
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C．方程x+ax+b=0至多有两个实根
2
D．方程x+ax+b=0恰好有两个实根
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设
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是：方程x+ax+b=0没有实根． 故选：A．
【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查． 5．（5分）（2016春?东莞市期末）已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c的值得到结果．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9）， ∴曲线关于x=5对称，
∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2）， ∴c+2+c﹣2=10， ∴c=5， 故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
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