6．（5分）（2016春?东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：∵=3，=5，
∴这组数据的样本中心点是（3，5） 把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5 ∴5=3+0.5， ∴=1.5
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
7．（5分）（2016春?东莞市期末）抛物线y=3﹣x与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（ ）
2
A．10
B．
C．11
D．
【分析】联解方程组，得直线与抛物线交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），因此求出函数
2
3﹣x﹣2x在区间[﹣3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．
2
【解答】解：由抛物线y=3﹣x与直线y=2x联立， 解得交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2） ∴两图象围成的阴影部分的面积为S=
3
2
（3﹣x﹣2x）dx=
3
2
2
=（3×1﹣×1﹣1）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）﹣（﹣3）] =
，
故选：D． 【点评】本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积，着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题．
8．（5分）（2016春?东莞市期末）若（3x+）（n∈N）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7
nn
【分析】令x=1，可得4=P，又2=S，P+S=272，联立解出即可得出．
nn
【解答】解：令x=1，可得4=P，又2=S，P+S=272， nn
∴4+2﹣272=0，
n
解得2=16， 解得n=4． 故选：A．
【点评】本题考查了由二项式定理性质及展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（5分）（2016春?东莞市期末）有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（ ） A．36 B．72 C．144 D．288
【分析】可以考虑到用插空法求解，先把3位老师排好，然后有4个空排学生，然后列出式子，根据分步计数原理求解即可．
【解答】解：考虑3位学生不相邻排法，可以考虑到用插空法求解， 先把3位老师排好，然后有4个空排学生，
33
故有A3?A4=144排法． 故选：C
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，站队问题是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．本题是一个基础题
10．（5分）（2016春?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】随机变量ξ～B（5，），P（ξ=k）=
，由式子的意义知：概
n
*
率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ=5×=3.75，知k=4是极值，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值． 【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（5，）， ∴P（ξ=k）=
，
由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近． ∵Eξ=5×=3.75，
∴k=4是极值，
∴P（ξ=k）取最大值时k的值是4．
故选：C．
【点评】本题考查二项分布的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11．（5分）（2016春?东莞市期末）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的
3
“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．β＞γ＞α D．γ＞α＞β
【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项． 【解答】解：①∵g（x）=2016x，∴g′（x）=2016，由g（x）=g′（x），解得2016x=2016，∴α=1．
②∵h（x）=ln（x+1）， ∴h′（x）=
，由h（x）=h′（x），得到ln（x+1）=
，则h′（x）=
+
，
，因此函数h（x）在（﹣1，+∞）
令h（x）=ln（x+1）﹣单调递增．
∵h（0）=﹣1＜0，h（1）=ln2﹣＞0，∴0＜β＜1．
③∵φ（x）=x﹣1，∴φ′（x）=3x，由φ（x）=φ′（x），得x﹣1=2x，
23∵2x＞0，（x=0时不成立），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴γ＞1． 综上可知：γ＞α＞β． 故选：D．
【点评】本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性，属于中档题．
12．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=
在点（1，2）
3
2
3
2
处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（ ） A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2） C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]
【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．
2
【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+1， 则f′（x）=2x， ∴f′（1）=2×1=2，
则在点（1，2）处的切线方程为y=2x， 当x≤0时，y=f（x）=
即（x+2）+（y﹣b）=4（y≥b） 作出函数图象如右图
2
2
+b，
随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，
再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点 即
=2，解得b=﹣4﹣2
＜﹣8
∴b的取值范围是（﹣4﹣2故选：D．
，﹣8]．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上． 13．（5分）（2016春?东莞市期末）用1，2，3，4这四个数字能组成 24 个没有重复数字的四位数．
【分析】本题属于排列问题，全排即可得到答案．
4
【解答】解：把1，2，3，4全排列，故有A4=24个， 故答案为：24．
【点评】本题考查了简单的排列问题，属于基础题．
14．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=3x﹣x，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为 ﹣1 ．
【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．
【解答】解：f′（x）=3﹣3x；
∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0； ∴x=1时，f（x）取得极大值2； 即a=1，b=2； ∴a﹣b=﹣1． 故答案为：﹣1．
2
2
3
【点评】考查基本初等函数的求导公式，二次函数符号的判断，熟悉二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法．
15．（5分）（2016?梅州二模）（x+﹣2）的展开式中的常数项为 ﹣252 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：（x+﹣2）=（﹣1）?x， 故展开式的常数项为
?（﹣1）=﹣252，
5
5
5
5
5
= 的展开式中，分子中含x的项为
5
?
故答案为：﹣252．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，配方是关键，属于中档题． 16．（5分）（2016春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b5= 105 ； （2）b2n﹣1=
．
【分析】（1）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；
（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）． 【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），
故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1） 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，… 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，
∴b5=105；
（2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，