南通市2013届高三第一次调研测试数学I
参考答案与评分标准
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位
置上．
1．已知全集U=R，集合A??xx?1?0?，则eUA? ▲ ． 答案：(??,?1]．
2．已知复数z=3?2i(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．
i 答案：三．
3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． 答案：48.
4．定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x?2)?f(x)，当x?(?2,0) 时，f(x)?4x， 则f(2013)? ▲ ． 答案：
1． 45．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”， 则p是q的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空） 答案：否命题．
开始 输入x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出x （第8题） y2x6．已知双曲线2?2?1的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合， ab2且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．
2y2x答案：??1． 5207．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104， 则a5与a7的等比中项为 ▲ ． 答案：?42．
8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．
Y 结束 3答案：．
8[来源学科网]
9．在△ABC中，若AB=1，AC=3，|AB?AC|?|BC|，则BA?BC= ▲ ．
|BC| 1
答案：
1． 210．已知0?a?1，若loga(2x?y?1)?loga(3y?x?2)，且??x?y，则?的最大值为
▲ ． 答案：－2． 11．曲线f(x)?f?(1)x1e?f(0)x?x2在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ． e21． 2O (第12题)
答案：y?ex?12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅
为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为 ▲ cm． 答案：－1.5．
13．已知直线y=ax+3与圆x2?y2?2x?8?0相交于A，B两点，点P(x0,y0)在直线y=2x上，
且PA=PB,则x0的取值范围为 ▲ ． 答案：(?1,0)(0,2)．
14．设P(x，y)为函数y?x2?1(x?3)图象上一动点，记m?m最小时，点 P的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)．
3x?y?5x?3y?7，则当?x?1y?2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应
写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证： （1）EF//平面ABC； （2）平面AEF⊥平面A1AD．
解：（1）连结A1B和A1C．
因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点， 所以E、F分别是A1B和A1C的中点．
所以EF//BC． ?????????????????????3分 又BC?平面ABC中，EF?平面ABC中，
2
A1
B1 E F A B
C A1
C1
E F A B C C1
D
(第15题)
B1 D
(第15题)
故EF//平面ABC． ??????????????????6分 （2）因为三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱， 所以A1A?平面ABC，所以BC?A1A．
故由EF//BC，得EF?A1A． ???????????????8分 又因为D是棱BC的中点，且?ABC为正三角形，所以BC?AD． 故
由
EF//BC，得
EF?AD． ?????????????????????????10分
而A1A1AAD?A，
A1A,AD?平面
A1A，D所以EF?平面
12分 A．?????????????D又
EF?平面AEF，故平面AEF?平面
A1．?????????????????????14分 AD
16.（本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?sinA?sinB．
cosA?cosB（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2?b2的取值范围． 解：(1)因为tanC?sinA?sinB，即sinC?sinA?sinB，
cosA?cosBcosCcosA?cosB所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB， 即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB，
得 sin(C?A)?sin(B?C)． ????????????????????4分 所以C?A?B?C，或C?A???(B?C)(不成立)．
即 2C?A?B, 得 C??． ????????????7分
3(2)由C?π,设A?π??,B?π??,0?A,B?2π,知-π???π．
333333因a?2RsinA?sinA,b?2RsinB?sinB， ???????????????8分 故a2?b2?sin2A?sin2B?1?cos2A?1?cos2B
22=1?1?cos(2π?2?)?cos(2π?2?)??1?1cos2?． ??????11分
?2?332??由-π???π,知-2π?2??2π,3333?1?cos2?≤12，故
3?a2?b2≤3．???????????14分 4217.（本题满分14分）
3
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB?AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB?交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB?PD的面积最大时制冷效果最好．
B?
D P C
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：（1）由题意，AB?x，BC?2?x．因x?2?x，故1?x?2． ???2分
设DP?y，则PC?x?y．
因△ADP≌△CB?P，故PA?PC?x?y．
22?AD?由 PA22D，得P (x?y)?(2?x2)?y2?y?2(11?，1)?x?2．??5分
xA
（第17题）
B
（2）记△ADP的面积为S1，则
S1?(1?1)(2?x) ?????????????????????6分
x?3?(x?2)?2?22，
x当且仅当x?2∈(1，2)时，S1取得最大值．?????????8分
故当薄板长为2米，宽为2?2米时，节能效果最好． ?????????9分 （3）记△ADP的面积为S2，则
S2?1x(2?x)?(1?1)(2?x)?3?1(x2?4)，1?x?2．?????????10分
2x2x?x3?2?0?x?32．??????????11分 于是，S2???1(2x?4)?2x2x2关于x的函数S2在(1,32)上递增，在(32,2)上递减．
所以当x?32时，S2取得最大值． ???????????13分
[来源学科网ZXXK]
故当薄板长为32米，宽为2?32米时，制冷效果最好． ????????14分 18.（本题满分16分）
已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgbn?n(an?a1)． 2an?1，试问是否存在正整数p，q(其中1 4 解：(1)令n=1，则a1=S1= (2)由Sn?1(a1?a1)=0． ???????????3分 2n(an?a1)na，即Sn?n， 22(n?1a)n?1． 2① ② ③ ④ 得 Sn?1?②－①，得 (n?1a)n?1?nan． 于是，nan?2?(n?1)an?1． ③+④，得nan?2?nan?2nan?1，即an?2?an?2an?1． ????????7分 又a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an=n－1． ???????????????????9分 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是， 2p1q??． ???????????????????11分 3p33q2p1?)(☆)． 3p3所以，q?3q(易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． ???????????13分 当p≥3，且p∈N*时，于是 2(p?1)2p2?4p2p<0，故数列{}(p≥3)为递减数列， ??3p?13p3p?13p2p12?31?≤3?<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 333p3综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． ????16分 注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分． 19.（本题满分16分） 已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，23)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的 3椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若P为线段AB的中点，求k1； （3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c=1，且右焦点F?(1，0)． ??所以，2a=EF?EF?=(1?1)??23??23?23，b2=a2－c2=2， 3?3?22 5