10不等关系与一元二次不等式
【知识网络】
1、求解或判别不等关系式，利用性质进行比较大小；
2、求解一元二次不等式；
3、不等关系或一元二次不等式的解法的简单应用。 【典型例题】
例1：（1）已知a>b>c>0,若P=
b?ca?c,Q=,则 （ ）
ba1,Q=1,P 11??0，则下列不等式 ①a?b?ab；②|a|?|b|;③a?b；④ ab （ ） ba??2 中，正确的不等式有 ab A．０个 B．１个 C．2个 D．３个 答案：Ｃ．解析： ①正确,②错误,③错误,④正确．也可用特殊值检验。 （3）若loga2＜logb2＜0，则 （ ） A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 答案:B。解析：显然0 D． b＞a＞1 11??0,?0?log2a?log2b,?1?a?b?0。 log2alog2bx?3?x的解集是 ． x?1（4）不等式 ?x2?3?x?3?x?0???x?1?x?1答案: {x|x?3}。解析：?,??2,?x?3。 x?3x?2x?3???x??0???x?1?x?1解析（5）不等式log2x+3x2＜1的解集是____________. 答案：{x|－ 3＜x＜3且x≠－1,x≠0}。 2?2x?3?1?0?2x?3?1?3?解析：：?或,?x??,?1????1,0???0,3?。 ?2?2?2??0?x?2x?3?x?2x?3例2：设函数f(x)?lg(2x?3)的定义域为集合M，函数g(x)?1?为集合N．求： （1）集合M，N； 2的定义域 x?1（2）集合M?N，M?N． 解析：（Ⅰ）M?{x|2x?3?0}?{x|x?}; N?{x|1?322x?3?0}?{x|?0|}?{x|x?3或x?1} x?1x?1（Ⅱ）M?N?{x|x?3}; 32例3：解关于x的不等式：log1[a2x?(ab)x?2b2x?1]＜0(a＞0，b＞0) M?N?{x|x?1或x?}. 2解析： 原不等式?a2x-(ab)x-2b2x＞0?() ?()＞2或()＜-1(舍去). 当 ab2xa?()x?2＞0 babxabxa＞1，即a＞b＞0时x＞loga2； bb 当 a=1，即a=b＞0时x∈Φ； ba＜1，即0＜a＜b时x＜loga2； bbb 当0＜ 综上所述，当a＞b＞0，原不等式解集为{x|x＞loga2}. 当a=b＞0，x∈Φ；当0＜a＜b，原不等式解集为{x|x＜loga2}. b例4：已知A(0,3a)，B(－a,0)、C(a,0)是等边?ABC的顶点，点M、N分别在边AB、BC上，且MN将?ABC的面积两等分，记N的横坐标为x，|MN|＝y， (1)写出y=f(x)的表达式 (2)求y=f(x)的最小值。 2解析：(1)?y?BM2?(x?a)2?2BM(x?a)cos600， 1322a20a,?BM?又BM(x?a)sin60?， 22x?a代入y?f(x)?21(x2?2ax)2?3a4,(?a?x?a) x?a4a4(2)?y??(x?a)2?2a2?24a4?2a2?2a2, 2(x?a) ?ymin?2a，仅当x?(2?1)a时取到。 【课内练习】 1．实数满足log3x?1?sin?,则x?1?x?9的值为 A．8 （ ） B．-8 C．8或-8 D．与?无关 答案： A． 解析：由条件1?x?9去绝对值得8． 2．若函数f(x)是奇函数，且在（0,??），内是增函数，f(?3)?0，则不等式x?f(x)?0 的解集为 （ ） A．{x|?3?x?0或x?3} C．{x|x??3或x?3} B．{x|x??3或0?x?3} D．{x|?3?x?0或0?x?3} 答案： D．解析：由题意作y?f(x)的图象，易得?3?x?0或0?x?3 3．若a?b?0，则下列不等式中一定成立的是 （ ） 11bb?1112a?baA、a??b? B、? C、a??b? D、? baaa?1baa?2bb答案：A。解析：∵a?b?0，∴ 1111?，∴a??b?。 baba 4．若a、b、c、d均为实数，使不等式 ac>>0和ad 答案：(2,1,-3,-2) 解析：只需保证a、b、c、d的值满足a、b同号，c、d同号且满足其他条件即可. 5．若规定 a b?ad?bc，则不等式logc d221 1?0的解集为 。 1 x2答案：(0,1)?(1,2)。解析：log1?x?2。 1 1?0，∴log1 x|x?1|?0,?0?|x?1|?1,?0?x?1或 6．若方程x?2x?lg(2a?a)?0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是__________________． 答案：(?1,0)?(1,1)。解析：lg(2a?a)?0,?0?2a?a?1,?a???,0???,1?。 222222?1?2??1???2?2??x?x?2?07．关于x的不等式组?2的整数解的集合为{－2}，求实质数k ??2x?(2k?5)x?5k?0的取值范围. 解析：不等式x2?x?2?0的解集为x?2或x??1 不等式2x?(2k?5)x?5k?0可化为(x?k)(2x?5)?0 由题意可得2x2?(2k?5)x?5k?0的解集为?5?x??k. 22?不等式组的整数解的集合为{－2} ??2??k?3.即?3?k?2． 8．解下列关于x的不等式： （1）x2－5x+6>0; （2）(x+a)(x-2a+1) <0 解析: (1) { x | x >3或x <2}; 1 (2) 当a?时,不等式解为Φ; 31当a>时,解集为{x|-a 31当a<时, 解集为{x| 2a-1 3求参数m的取值范围。 9．已知关于x的方程x2＋（m2－1）x＋m－2＝0的一个根比－1小，另一个根比1大， 答案：－2＜m＜0。解析：令f(x)?x2?(m2?1)x?m?2,??2??m?1或m?0 ?m?m?0,??∴?2 ，∴?2?m?0。 ?2?m?1??m?m?2?0??f(?1?0 f(1)?0?10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 解析：（Ⅰ）?f(x)?2x?0的解集为(1,3).f(x)?2x?a(x?1)(x?3),且a?0。 因而f(x)?a(x?1)(x?3)?2x?ax2?(2?4a)x?3a.① 由方程f(x)?6a?0得ax2?(2?4a)x?9a?0. ② 因为方程②有两个相等的根，所以??[?(2?4a)]2?4a?9a?0， 1解得a?1或a??. 51由于a?0,舍去a?1.将a??代入①得f(x)的解析式 5163f(x)??x2?x?. 555即 5a?4a?1?0.21?2a2a2?4a?1)? （Ⅱ）由f(x)?ax?2(1?2a)x?3a?a(x? aa2a2?4a?1. 及a?0,可得f(x)的最大值为?a?a2?4a?1?0,??由? 解得 a??2?3或?2?3?a?0. a?a?0,?故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0). 【作业本】 A组 1．命题甲：(x?2)(x?3)?0，命题乙：(x?1)(x?2)?0．则命题甲是乙的 （ ） xA．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 C．既非充分又非必要条件 答案: B。解析： (x?2)(x?3)?0的解集为x??2或0?x?3,(x?1)(x?2)?0的 x解集为1?x?2，∴乙?甲。 2．若f(x)是偶函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x?1,则f(x?1)?0的解集是（ ） A．（－1，0） C．（1，2） B．（－∞，0）∪（1，2） D．（0，2） 答案： D．解析：由题意作y?f(x)的图象由图象易得0?x?2。 3．不等式ax2+bx+2＞0的解集是(?11,)，则a+b的值是 ( ) 23A． 10 B．–10 C． 14 D． –14 11?b??????a??1211?a23答案：D 。解析：ax2?bx?2?0的两根为?,，∴?，∴?， 2123b??2?????6?a∴a?b??14。 4．已知f(x)???1,x?0,则不等式x?(x?2)?f(x?2)≤5的解集是 ____ . ??1,x?0,答案： (??,] ．解析：分类⑴x??2时原式成立 ⑵x??2时化为 322x?2?5,x?333,解为?2?x?综上得(??,] 22221?x?2x?15．不等式≤0的解集为____________. 2x?1