《物质结构导论》习题集
第一章 量子力学基础
1．K的电子逸出功是2.2 eV，Ni的电子逸出功是5.0 eV，而1 eV=1.6×10-12 erg，波长为
4000 ?的紫光能否引起金属K和Ni的光电效应？ 2．考虑相对论效应，则以速度?运动的粒子的动能为
T??0c21??2c2??0c2
其中?0为粒子的静止质量。试证明当???c时，T?1?0?2。 23．计算红光?=6000 ?和X射线?=1 ?的一个光子的能量、动量和质量。 4．试求下列各粒子的de Broglie波长 (a) 100 eV的自由电子。 (b) 0.1 eV，质量为1g的粒子。
5．质量为m的粒子，在弹性力?kx作用下运动，试写出其Schr?dinger方程。 6．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的Schr?dinger方程，并求其解。
7．已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为??阱的长度。试计算： (a)粒子动量的平方。
?1?(b)n取何值时粒子在区间?0,a?的几率最大。
?4?2?n?sin?a?a?x?，其中a为势?8．用不确定原理和virial定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小于10-13cm的质子和电子用Coulomb力结合起来的粒子。 9．证明?(x)?ekx是Px的本征函数，并说明k的取值情况。 10．试计算Li2+离子2s和2p轨道上电子的电离能。
11．忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子数是
n的氢原子电子能级的简并度。
12．在求解氢原子电子的Schr?dinger方程时，曾忽略了万有引力的作用。质子
和电子在万有引力作用下的势能为
V??GM?r
其中万有引力常数G=6.67×10-8 cm3.g-1.s-1。试计算V?所引起的电子能量的修正值。
?的本征值和本征函数。其中C?为任一常数c所对?和H??C13．试比较能量算符H应的算符。 14．验证
??c1(1?c2r)e?ar
是氢原子Schr?dinger方程的解，并确定c1，c2，a和能量E。 15．求氢原子中处于?1s状态的电子矢径r的平均值r。 16．求氢原子中处于?1s状态的电子出现在r?2a0的球内的几率。 17．求氢原子中处于?2pz状态的电子出现在??45?的圆锥内的几率。 18．求氢原子中处于?321状态的电子的角动量与z轴的夹角。 19．处于l?2的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。
20．比较H的2s电子、He+的2s电子和He(1s12s1)的2s电子能量的高低。 21．设氢原子的电子处在状态??c1?210?c2?211?c3?31?1，其中?，?210，?211 ，
22，c3的物理意义计算 ?31?1 都是归一化的。试由c12，c2①能量的平均值。 ②能量是?R4的几率。 ③角动量的平均值。 ④角动量是2?的几率。 ⑤角动量z分量的平均值。 ⑥角动量z分量是2?的几率。
第二章 多电子原子
1．1971年曾发表过一篇论文，该论文对氢原子应用了归一化的变分函数
Ne?br2?cr，并说将近似能量对参数b和c求极小值时，得到高于真实基态能量
（核质量为无穷大）0.7%的能量。不做任何计算，说明为什么这个结果一定是错误的。
2．如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数
?3????3?x, 0?x?l
?l?则发现其近似能量为零，这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。 3．一维谐振子的Hamilton算符为
?2d2?????2?2m?2x2 22mdx12若选用??e?bax作为一维谐振子的尝试波函数，试用变分法计算其近似的基态能量。其中b为参数，a??m?，m为谐振子的质量。 4．用变分法求锂原子的第二电离能。 5．写出锂原子基态的行列式波函数。 6．证明波函数
2?(1,2)?11s(1)?(1)1s(2)?(2)
22s(1)?(1)2s(2)?(2)是氦原子忽略电子间相互作用的Schr?dinger方程的解，并求其本征值。 7．用Clementi和Raimondi给出的计算屏蔽常数的经验公式计算He原子的基态能量。
8．基态钇（Y）原子的可能价电子组态为
4d15s2 或 4d25s1
由光谱实验可确定其光谱基项为2D32，试判断它的基态是哪种电子组态。 9．试写出Cl原子和As原子的光谱基项。
10．如果一个电子的状态不用量子数n，l，m，ms，来描述，而用n，l，j，
mj四个量子数来描述，试证明一定n值的状态数目仍为2n2个。 11．求pd电子组态的光谱项。
12．如果考虑自旋-轨道耦合，下列谱项各能级分裂成几个能级：1D，3G，6S。 13．组态p2和pd的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？
14．谱项2P的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？
15．pd组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量与z轴可能的夹角有哪些？ 16．对于给定的l值，求和
m??l?Yl2lm(?,?)
与角度?和?无关。当l?1时，试验证这一结论的正确性。 17．一个含有N个电子的原子，则电荷密度为
?(1)?Ne??(1,2,?,N)d?2d?3?d?N
若以?i表示电子的自旋-轨道，则电子密度也可以写为
2?(1)?e??i(1)
i?1N2试验证：对于N?2 的闭壳层体系，以上这两个电荷密度的表达式等价。 18．利用以上两题的结果，说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密度是球对称的。
第三章 双原子分子
1．试写出H2 的Schr?dinger方程。
2．按分子轨道法写出Li2 的基电子组态和电子的总波函数。
3．用分子轨道能级图解释：N2的键能比N2+ 大，而O2的键能比O2+ 小。 4．如果分子轨道AB的成键轨道中的一个电子由90%的时间在A的原子轨道?a上,10%的时间在B的原子轨道?b上，若忽略重迭积分，试求出该分子轨道。
5．用分子轨道理论解释N2 ，O2 和F2分子键长的相对顺序。
2226．B2 分子的基电子组态为??2?g，假定1?u简并轨道上各有一个电子，2?u1?u且自旋相反。试写出这个单重态的光谱项。
222337．O2 分子的一种激发态电子组态为??2?g，试写出该电子组态的2?u3?g1?u1?g所有光谱项。
8按价键法的基态波函数验证：H2 分子的核间区的电荷密度大于未成键的两个氢原子的电荷密度之和。 9．N原子的各级电离能IP分别是
i 1 2 3 4 5 6 7 IP(eV) 14.549 29.612 47.438 77.470 97.887 552.063 667.000 N2 分子离解能的实验值是9.902eV, 试计算N2分子的总能量。 10．试证明：只要带电粒子的总电荷等于零，则体系的偶极矩与坐标原点的选择无关。
11．设LiH分子的最高占据轨道为
2??c1?1s?H?c2?2s?Li
实验上测定Li-H键长为 Re=1.5853?，偶极矩为
??1.9607?10?29C?m，
电子电荷为e?1.6?10?19C，试确定c1，c2。
第四章 分子对称性和群论基础
1．分别给出下列分子的全部对称元素：（a）H2S; (b) NH3; (c) CHF3; (d) HOCl;
(e) 1,3,5-三氯苯；(f) CH2F2；（g）CHFClBr。
2. 对于SF6，下列成对的操作哪些可对易：
?(z),??(z),??(z)，C?(x);?(yz);?(yz); ?h;?h,?（a）C（b）C（c）C（d）?4422?h。 （e）?i,?3．（a）H2O2有一Sn轴吗？（b）它是光学活性的吗？解释之。 4．(a) 哪些点群的分子有偶极矩？(b) 哪些点群的分子有光学活性？