2019届高三理科数学精准培优专练八：平面向量（解析版）
1．代数法
例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a??a?b?，则b在a方向上的投影为（ ） A．3 【答案】C
【解析】考虑b在a上的投影为
a?b，所以只需求出a，b即可． bB．?3 C．?33 2D．33 22由a??a?b?可得：a??a?b??a?a?b?0，
所以a?b??9．进而
2．几何法
a?b?933???．故选C． b223例2：设a，b是两个非零向量，且a?b?a?b?2，则a?b=_______． 【答案】23
【解析】可知a，b，a?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由a?b?a?b?2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a?2的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为3a?23．
3．建立直角坐标系
uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD，CA?3CE，则AD?BE?__________．
AEB
CDuuuvuuuv1【答案】AD?BE??
4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，
如图建系：A???0,3??2???，B????12,0???，C??1??2,0??，
下面求E坐标：令E?x,y?，∴uuCEuv???1?x?2,y?uuv???，CA????1,3??22???， ??由uu?3?x?1????1?1CAv?3uuCEuv可得：???2?2???x???3，∴E??13???33?3,6???， ?3y??2??y?6∴uuuADv????0,?3?uuuv?53?uuuvuuuv1?2???，BE????6,6???，∴AD?BE??4．
对点增分集训
一、单选题
1．已知向量a，b满足a?1，b?2，且向量a，b的夹角为?4，若a??b与b垂直，则实数?的值为（A．?1122 B．
2 C．?4 D．24 【答案】D
【解析】因为a?b?1?2?cos?4?2，所以?a??b??b?2???4?0???24，故选D． 2．已知向量a，b满足a?1，b?2，a?b?7，则a?b?（ ） A．1 B．2 C．3 D．2
【答案】A
）
【解析】由题意可得：a?b?a?b?2a?b?1?4?2a?b?7，则a?b?1．故选A． 3．如图，平行四边形ABCD中，AB?2，AD?1，?A?60o，点M在AB边上，且AM?uuuuvuuuv则DM?DB?（ ）
2221AB， 3
A．?1 【答案】B
B．1 C．?3 3D．3 3uvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuvuuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD【解析】因为，所以DB?AB?AD，，
33uuuvuuuvuuuvuuuv?1uuuvuuuv?1uuuv24uuuvuuuvuuuv2则DB?BM?AB?AD??AB?AD??AB?AB?AD?AD
3?3?3??141??4??2?1??1?1．故选B． 332uuuvuuuvuuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB?a，AC?b，则AO?（ ）
11A．a?b
2211B．a?b
2411C．a?b
4211D．a?b
44【答案】B
uuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE?AC，
2uuuv1uuuvuuuvOAO?AB?AE又因为是BE边的中点，所以，
2uuuv1uuuvuuuv1uuuv1uuuv11所以AO?AB?AE?AB?AE?a?b，故选B．
22224????5．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD?1，AB?BC?2，?BCD?120o，动点P和Q分别在线段BC和CDv1uuuvuuuvuuuvuuvuuuvuuuDC，则AP?BQ的最大值为（ ） 上，且BP??BC，DQ?8?
A．?2 B．?3 32C．
4 D．98
【答案】D
【解析】因为AB∥CD，CD?1，AB?BC?2，?BCD?120o， 所以ABCD是直角梯形，且CM?3，?BCM?30?，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
因为uuBPv??uuBCuv，uuuDQv?1uuu8?DCv，动点P和Q分别在线段BC和CD上，
则???01，?，B?2，0?，P?2??,3??，Q??1?8?，3???， 所以
uuAPuv?uuBQuv??2??，3?????1?11?8??2，3???5??4??4?8， 令f????5??114??4?8且???01，?，
由基本不等式可知，当??1时可取得最大值， 则f???max?f?1??5?1194?4?8?8．故选D． 6．已知△ABC中，AB?2，AC?4，?BAC?60?，P为线段AC上任意一点，则uuPBv?uuPCuv的范围是（A．?1，4? B．?0，4? C．??9??4，4??? D．??2，4? 【答案】C
【解析】根据题意，△ABC中，AB?2，AC?4，?BAC?60?，
则根据余弦定理可得BC2?4?16?2?2?4?cos60??12，即BC?23．∴△ABC为直角三角形 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A?0，2?，C?23，0?，
）
则线段AC的方程为x23?y2?1，?0?x?23?． 设P?x,y?，则uuPBv?uuPCuv???x，?y??23?x，?y??x2?y2?23x?43x2?1033x?4．
∵0?x?23，∴?94?uuPBv?uuPCuv?4．故选C．
7．已知非零向量a，b，满足a?22b且?a?b???3a?2b??0，则a与b的夹角为（ ） A．
?3?4 B．
?2 C．
4 D．?
【答案】A
【解析】非零向量a，b，满足a?22b且?a?b???3a?2b??0，则?a?b???3a?2b??0， ∴3a2?a?b?2b2?0，∴3a2?a?b?cos??2b2?0， ∴3?12b2?22b?b?cos??2b2?0， ∴cos??22，???4，∴a与b的夹角为?4，故选A．
8．在Rt△ABC中斜边BC?a，以A为中点的线段PQ?2a，则uBPuv?uCQuuv的最大值为（ ）
A．?2 B．0
C．2
D．22 【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中斜边BC?a，∴BA?CA， ∵A为线段PQ中点，且PQ?2a，
∴原式
??a2?uuBAv?uuuAQv?uuuAQv?uuCAv??a2?uuuAQv?uuBAv?uuCAv???a2?uuuAQv?uuCBv??a2?a2cos?， 当cos??1时，有最大值，uuBPv?uuCQuv?0．故选B．
9．设向量a，b，c，满足a?b?1，a?b??12，a?c,b?c?60o，则c的最大值等于（ A．1 B．2 C．3 D．2
【答案】D
【解析】设uuOAv?a，uuOBuv?b，uuuOCv?c，因为a?b??12，a?c,b?c?60o，
所以?AOB?120?，?ACB?60?，所以O，A，B，C四点共圆， 因为uuABuv?b?a，uuABuv2??b?a?2?b2?a2?2a?b?3，所以AB?3，
）