2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及详解
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
sin?x可去间断点的个数为（ ）个 1。函数
（A）1 （B）2 （C）3 （D） 无穷多 应选（C）
f(x)?x?x3[解析]：函数全部间断点为x是全体整数，但只有x?0,?1时函数分子、分母同时为零，而 limx?x3x?0sin?xx?x3?1limx(1?x)(1?x)?sin?(1?x)2x?x3?，
x??1x?1sin?x?limx(1?x)(1?x)sin?(1?x)x?1?2?，
x??1limsin?x?lim??，因此只有三个可去间断点。
22．当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)等价无穷小，则（ ） （A）
a?1,b??16 （B）16 （D）
a?1,b?16 16
（C）
应选（A）
a??1,b??a??1,b?x?sinax1?lim2x?0xln(1?bx)[解析]：由题设。从而
1?limx?sinaxxln(1?bx)sinx6x2x?0??1blimx?sinaxx3x?0??1blim1?acosax3x2x?0
由极限的存在性可得a?1。因此
1??x1blimx?0??16b，所以
b??16
?3。使不等式
sintt成立的x的取值范围为（ ）
??(1,)(,?)2 （C）2（A）(0,1) （B） （D）(?,??)
应选（A）
1dt?lnx?[解析]：由于
sint?1xsintt1dt?lnx??xsinttt1dt?lnx?0??xsint?1t1dt?0
由于
t?0(t?0)?，所以
xsint?11dt?0?0?x?1
4．设函数f(x)在区间上[?1,3]的图形为 则函数
F(x)??x0f(t)dt的图形为
应选（D）
[解析]： 由定积分几何意义：“围成图形面积代数和”可得： 当?1?x?0时，当0?x?1时，
F(x)?
?xx0f(t)dt???f(t)dt?0x0，且单调递增；
F(x)??0f(t)dt?0，且单调递减；
当1?x?2时，F(x)单调递增； 当2?x?3时，F(x)为常值函数。 符合以上特点的图形只有（D）
**A?2,B?3A,BA,B5．设均为二阶矩阵，分别为A,B的伴随矩阵，且，则分块矩阵
?0??BA??0?的伴随矩阵为（ ）
*?03B???*0? （B）?3A*?03A???*0? （D）?3B*2B??0? *2A??0?
?0?*（A）?2A?0?*（C） ?2B应选（B）
?0C???B[解析]：记A??0*?1??0?，则C?CC，而C?AB，?B?1B??0???*0??3A*2B??0?。
A??0??1?0???1?AB??0?
?1?0C?AB??1?A从而
*6．设A,P都是三阶方阵，P为P的转置矩阵，且
T?1?TPAP?0???00100??0?2??,?2,?3)。若P?(?1
Q?(?1??2,?2,?3)，则QTAQ为（ ）
（A）
?2?1???01100??0?2?? （B）
?1?1???01200??0?2??
0（C）
应选（A）
?2?0???0010??0?2?? （D）
0100100??0?1???1?0???00200??0?2??
[解析]：
?1?Q?(?1??2,?2,?3)?(?1,?2,?3)1???0010T0??0?1??，所以
T?1?TQAQ?1???0?1?1???00100??0?1??0??1??T0?PAP1???1???00100??1??01??2????0010T0100??1??0?1??1????01100??0?1???1?0???0?1?0???00100100??1??01??2????00100100??0?1??0??0?1??
而
?1?0???00??1??0?0??1????00??1??01??2????0
0
7．设事件A与事件B互不相容，则（ ）
?1??0???0110??1??01???2???001??0??1??0??0??2?1011?0??0??0
2（A）P(AB)?0 （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(A)?1?P(B) （D）P(A?B)?1 应选（D）
[解析]：因为事件A与事件B互不相容，所以P(AB)?0
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1
8．设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为
P?Y?0??P?Y?1??12。记FZ(z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ(z)的间
断点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 应选（B） [解析]：
FZ(z)?P?Z?z??P?XY?z?
12?P?XY?z|Y?0?P?Y?0??P?XY?z|Y?1?P?Y?1??12P?X?0?z|Y?0??P?X?z|Y?1?
由X与Y相互独立，故 当 z?0 时 当 z?0 时
FZ(z)?12?12P?X?z??12?
12?(z)?12?1??(z)?
由此可得 z?0 为间断点，故应选 （Ｂ）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共 24分。把答案填在题中横线上。
lime?ecosx2x?03?______9．
1?x?1e
3应填：2
e?ecosx2limx?03?lime1?cosx?121?x?1x?013ecosx?elim1?cosx13x2[解析]：
?zxx?0?32e
10．设z?(x?e)，则?x应填：
2(12?ln2)yx(1,0)?_____
xx?1?z[解析] ：?x?(1,0)?[(x?1)]?nn?(x?1)(ln(1?x)?xx1?x)x?1?2(12?ln2)
11．幂级数应填：
R??n?1e?(?1)n2nx的收敛半径为_____。
1e
en?1?(?1)2n?1?(x)?lim[解析] ：由于令
?(x)?1?x?1(n?1)nxnn?1n??e?(?1)n2?exxn
R?1e。
e，所以收敛半径为
12．设某产品的需求函数为Q?Q(P)。其对应价格P的弹性为?P?0.2。则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加____元 应填：12000
Q?(P)P?0.2Q[解析] ：由题设知，即Q?(P)P?0.2Q 产品收益为R?QP，从而?R?dR?(Q(P)P)??P?[Q?(P)P?Q(P)]?P 所以收益增加?R?[0.2Q(P)?Q(P)]??P?12000（元）
?3?0???00000??0?0??13．设??(1,1,1),??(1,0,k)，若矩阵??相似于应填：2
TTT，则k?____
T??[解析]：由于相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵的特征值为?1??2?0,?3?3
而矩阵B???，满足B?(??)(??)?(1?k)B，所以矩阵B的特征值为０或k?1 因此k?2。
2１４。设X1,X2,?,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样
T2TT2本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET?____
应填：np ［解析］：
EX?1n2n2
EX?EXi?1i?np,DX?1n2n?DXi?1i?pq
???DX?EX2??12?pq?np22
?E?X?S??n2?EX?E??Xi?nXn?1?i?11??2???
2?n2?np?EX?nEX?i?n?1?i?1?np?1?????
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15． （本题满分9分）
求二元函数f(x,y)?x(2?y)?ylny的极值
2??fx??2x(1?y)?01?2x?0,y???fy?2xy?lny?1?0得函数f(x,y)的驻点为e [解析]：解方程组?22?n2pq?n3p2?npq?n3p2??np?npq?np2?n?1?
又由于
???2(2?y2),fxy???4xy,fyy???2x2?fxx1e),B?0,C?e21y，从而对驻点
x?0,y?1e有
A?2(2?11f(0,)??2ee为极小值。 ，因此B?AC?0且A?0，所以
16．（本题满分10分）
计算不定积分
?ln(1??ln(1?x?1x)dx(x?0)
x)dx?xln(1?x?1x)?1x?1?21xx?1x(1?x?1x)dx[解析]：法一：?xln(1?x?1xx?1x xdx)?1?2x?1x?1(x?12x?1)dx?xln(1?x?1x)?1?2x?1?x?1
?xln(1?)?12?xx?1dx
x?1令xdx??t，则
?xx?1?(t?22?1)2dt??12?[?1t?1?1(t?1)2?1(t?1)?1(t?1)2]dt