??12ln1?t1?t?12t?1(1?1t?1??)?C121?ln1?x?1xx?1xx?1x?Cx?1?x1x?C
??12ln(x?x?1)?x?1)?x12ln(x?1?x?1x12?Cx)?x
??ln(x?所以原积分为 ?xln(1?x?1xx?1)?12x?
12x?1xln(x?x?1)?x?C。
法二：令x?tx?1(t?1) ?1t?1?22，则
12 原积分变为
?1?ln(1?t)dt?1ln(1?t)?1?(t112?1)(t?1)2dt
?t?11t?122ln(1?t)??[ln(?1t?)x?1x14(t?1)4(t?1)12t?(x??2(t?1)]dt
1412
t?1ln?t?1lnx(??C1) 1x?1)2x?1?x?C?xln(?1?) 17．（本题满分10分）
I?
22 计算二重积分
I???(x?y)dxdyD3?，其中
0D??(x,y):(x?1)?(y?1)?2,y?x?r(cos??sin?)rdr
[解析]
??(x?y)dxdy?D??44d??3?42(cos??sin?)
s?in3?8
???33(co?s?)(?co?s43?4?sdin?)
38??4(cos??sin?)d(cos??sin?)
?233?(cos??sin?)44?4??8318．（本题满分11分）
（I）证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
limf?(x)?A（II）证明：若函数f(x)在x?0处连续。在(0,?)(??0)内可导，且x?0，则
?f??(0)存在，且f??(0)?A
证明：（I）构造辅助函数
F(x)?f(x)?f(b)?f(a)b?ax
由于f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，所以F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(b)?F(a)，由罗尔定理可得则存在??(a,b)，使得F?(?)?0，即得
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) f(x)?f(0)x?0（II）由于且f??(0)?A
f??(0)?lim?x?0?lim?f?(?)?lim?f?(?)?Ax?0??0。所以f??(0)存在，
19．设函数y?f(x)是正值可导函数，已知曲线y?f(x)与直线y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成立体的体积是该曲边梯形面积的?t倍，求该曲线的方程
[解析] ：由于曲边梯形的面积为?1ty(x)dx，该曲边梯形绕x轴旋转一周所成立体的体积为
?t1?y(x)dxt22，由题设可得：
t1 ?1（1）式两端对t求导得：
?y(x)dx??t?y(x)dx2t 即?1ty(x)dx?t?y(x)dx12t-----------------------------（1）
y??1y(x)dx?ty
t?23y?13y
上式两端再求导可得：2yy??2y?ty?且y(1)?1，可求得
23y?13y?x?0从而所求曲线方程为20．（本题满分11分）
?1?A??1???0?11?4
??1????1?1????2???设
?1??1??2??2，
（I）求满足A?2??1，A?3??1的所有向量?2、?3； （II）对（I）中的任意向量?2、?3，证明?1、?2、?3线性无关
?x1??2?x2??x?3??x1??Ax2?????，则?x3?110[解析]：（I）由于设
???1?????1??????2???? ?1120??1?1???1???0?2??0?0????010?12?1?2??1?2??0???所以
?1?A??1???0?11?4?11?2?1?1???1??0???2???0?120由于
?1???1???1???2?k1?1?1??2?????2???0??
记
?2?2B?A??2???4?2?B??2???42?242?240??0?0???y1??y1???1???????By2?1?3?y2???????y???2??y?? ?3?，则?3??，设
200000??1?1???0??0??00????100000?1?2??0?0???，所以
000?1??2??1?0????2???0由于
?0???1???1?????1???3?k20?k31?0????2??????1???0???0??
（II）由于
?1( ?1,?2,?3 )?1?2k1??k1?2k112??1212?k3?k3k2120?1?212??k10?k1?2k112?12112?2?k1?2k112k3??k2
??1?1?k1?k0?112?01
所以?1、?2、?3线性无关。
21。（本题满分11分）
设二次型f(x1,x2,x2)?ax1?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3 （I）求二次型矩阵的所有特征值
22（II）若二次型的规范形为y1?y2，求a的值
222[解析]：（I）二次型矩阵为
?a?A?0???10a?1?111???1?a?1??
0?11??a?E?A?由于
0?110??a???a0??a10??a11??a?1?11??a?10a1 02?(??a)1??a??(?a)1??0
?(??a)01??a?12??a?2
1??a1
??a?1??(?a)??a?2??a?2??a?1
?(??a)(??a?2)112
2??a?1?(??a)(??a?2)(??a?1)
?3?a?1
所以二次型矩阵的特征值为?1?a,2?2?a?2,（II）由于二次型的规范形为y1?y2，所以矩阵A有一个特征值为零，两个为大于零的数。 若?1?a?0,则?2??2,?3?1不合题意；
若?2?a?2?0,则?1?2,?3?3； 若?3?a?1?0，则?1??1,综上可得a?2。 22。（本题满分11分）
?e?x,0?y?xf(x,y)???0,其他设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2??2不合题意
（I）求条件概率密度（II）求条件概率
fYX(yx)
P?X?1Y?1??e?x,0?y?xf(x,y)???0,其他[解析]：（I），由于，而(X,Y)关于X的边缘分布密度为
fX(x)?fYX?????f(x,y)dy?f(x,y)fX(x)?x0edy?xe1x?x?x(x?0)
(yx)??,0?y?x所以
fYX从而
?1?,0?y?x(yx)??x?0,其他?。
P?X?1Y?1??P?X?1,Y?1?P?Y?1?f(x,y)dxdy?（II）
P?X?1,Y?1??
??x?1y?1?10dx?edy?0x?x?10xedx?x而
因为所以
1?x???xde0??xe?x10??x?10edx??e?y?x?1?e?x10?1?2e?1
fY(y)??????f(x,y)dx????yedx?e?y(y?0)?1
P?Y?1???1??fY(y)dy??10edy?1?e1?2e1?e?1 e?1
P?X?1Y?1??P?X?1,Y?1?P?Y?1???1?e?2从而23．（本题满分11分）
袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有回放地从袋中取出两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（I）求
P?X?1Z?0?
（II）求二维随机变量(X,Y)的概率分布 [解析]：（I）事件?X?1Z?0?表示已知“未取到白球”条件下取到一次红球，故
13?23?49
P?X?1Z?0??P{3球中，1次红球，1次黑球}?2? （II）X与Y的可能取值均为0，1，2，且X与Y相互独立（放回地取球）
P?X?0,YP?X?0,YP?X?0,YP?X?1,YP?X?1,Y
1?3??0??P{2次全是白球}????4 ?6?111?1??P{1次白球，次1黑球}?2???323
221?2??P{2次全是黑球}???669
131?0??P{1次红球，次1白球}?2???666 121?1??P{1次红球，1次黑球}?2???669
2P?X?1,Y?2??P{1次红球，次2黑球}?0P?X?2,Y?0??P{2次全是红球}?16?16
?136
P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2??P{不可能事件}?0
故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 2
0 14 16 11 13 19 2 19 0 0 36 0