又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°， ∴，即二面角FOOC﹣B的平面角的正弦值为． 点评： 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、二面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19．（14分）（2013?韶关一模）设等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为等比数列，若a1=b1=a，a3=b3，a7=b5 （1）求数列{bn}的公比q；
（2）将数列{an}，{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，是否存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和cλ+λ，cμ+μ，cω+ω均成等差数列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，请说明理由． 考点： 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）设{bn}的公比为q，依题意，由可求得q=±； （2）若{an}与{bn}有公共项，不妨设an=bm，由于m为奇数，且n=可求得bm=a?2q=μ，r=ω则k﹣1，令m=2k﹣1（k∈N），*，于是有cn=2n﹣1a，假设存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意，设p=λ，，利用基本不等式可求得q＞，与题设q=矛盾，从而可得结论． 解答： 解：（1）设{bn}的公比为q，由题意，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） q=1不合题意，故=，解得q=2， 2∴q=±﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）若{an}与{bn}有公共项，不妨设an=bm， 由（2）知：m为奇数，且n=令m=2k﹣1（k∈N），则bm=a?n﹣1*， =a?2k﹣1， ∴cn=2a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 若存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意， 设p=λ，q=μ，r=ω则， ∴2=2qp﹣1+2r﹣1，又2p﹣1+2r﹣1≥2=（当且仅当p=r时取“=”） 又p≠r， ∴又2p﹣1x+2r﹣1＞﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分） 又y=2在R上增， ∴q＞．与题设q=矛盾， ∴不存在λ，μ，ω满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分） 点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解的能力和推理论证的能力，属于难题． 20．（14分）（2013?梅州二模）已知椭圆
的离心率为
，直线l：y=x+2与
以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足
，求
的取值范围．
考点： 圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程； （2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程； （3）先设出点R，S的坐标，利用表示出解答： 解：（1）由，利用函数求最值的方法即可求22求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标的取值范围． 222得2a=3b，又由直线l：y=x+2与圆x+y=b相切， 得，，∴椭圆C1的方程为：．（4分） （2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线， 2F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y=4x．（8分） （3）Q（0，0），设， ∴， 由，得，∵y1≠y2 ∴化简得，（10分） ∴（当且仅当y1=±4时等号成立）， ∵又∵y2≥64，∴当y2=64，即y2=±8时∴的取值范围是．（13分） 22， ， 点评： 本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解． 21．（14分）（2013?东莞二模）已知函数（1）若a=1，求g（x）的单调减区间； （2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有
，求实数a的取值范围；
，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间． （2）先2用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得﹣（x1﹣x2）＜0，由此式即可求得实数a的取值范围； （3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解． 解答： 322解：（1）当a=1时，g（x）=x+2x﹣2x，g′（x）=x+4x﹣2 …（1分） 由g′（x）＜0解得﹣2﹣＜x＜﹣2+ …（2分） ∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （﹣2﹣，2+）；…（3分） 2（2）易知f（x）=g′（x）=x+4x﹣2 依题意知 =a（）+4×2﹣2﹣ =﹣（x1﹣x2）＜0 …（5分） 2因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分） （3）易知f（x）=ax+4x﹣2=a（x+）﹣2﹣，a＞0． 显然f（0）=﹣2，由（2）知抛物线的对称轴x=﹣＜0 …（7分） ①当﹣2﹣＜﹣4即0＜a＜2时，M∈（﹣，0）且f（M）=﹣4 令ax+4x﹣2=﹣4解得 x=此时M取较大的根，即M=222 …（8分） =…（9分） ∵0＜a＜2，∴M==＞﹣1 …（10分） ②当﹣2﹣≥﹣4即a≥2时，M＜﹣且f（M）=4 令ax+4x﹣2=4解得 x=2 …（11分） 此时M取较小的根，即 M==…（12分） ∵a≥2，∴M==≥﹣3当且仅当a=2时取等号 …（13分） 由于﹣3＜﹣1，所以当a=2时，M取得最小值﹣3 …（14分） 点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．