Re(sP1)?Re(sP2)??d1/2d2?0(d1?0,2d2?0)
2)当d12?4d0d2时
sP1??d12d2?d12d2?d1?4d0d22d1d1?4d0d22d12?0
sP2???0
极点均位于s平面左半部分，因此电路是稳定的。
4-3 试确定图4-3所示的低通滤波器的群时延函数?(?)，并证明当????0时，贝赛尔逼
近Q?1/由式(4-12)
(提示：将?(?)展成幂级数，并略去(?/?0)3可使?(?)最接近常数。
4及更高次项)
??0??arctg22????0??(?)????0???π?arctg22????0?可以得到
dd????0
???0?(?)????(?)????0(???0)(?222??0)???0?22422222
?[1?(?/?0)][1?(??/?0)?2(?/?0)?(?/?0)]?02
当????0时，将其展成幂级数又可以得到
?(?)????02[1?(??0)][1?2(2??0)?(2???0)?o?(2??O)]
4????0[1?3(??0)?(2???0)?o?(??0)]
4当??3时略去(?/?0)4及更高次项
?(?)????0[1?o?(??0)]??4??0
4-4 如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？试以式
(4-18)证明之。
带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位相同。设电路原理框图如下
Vi(s) H1(s) H2(s)+ Vo(s)
如果
+ Vo(s)?H1(s)Vi(s)?H2(s)Vi(s)?[H1(s)?H2(s)]Vi(s)
26
H1(s)?Kp?0222s???0s??0?Kp?0222s??0s/Q??0
H2(s)?Kps222s???0s??0?Kps222s??0s/Q??02
则
H(s)?Kp(s??0)s??0s/Q??0222
与式(4-19)完全相同。
4-5 具有图4-8所示特性的通带波动为0.5dB的五阶切比雪夫低通滤波器可由一个一阶基
本节与两个二阶基本节等效级联组成。试求两个二阶基本节的品质因数，并确定通带内增益相对直流增益的最大偏离为百分之几。 通带增益波纹系数??由式(4-27)可以得到：
102?KP/10?1=0.3493，??[sinh2?1(1/?)]/n=0.3548,
?0??p(sinhQ1?sinh222??cos?k)2,?0/Q?2?Psinh?sin?k
sinh2??cos?12sinh?sin?1?4.545，Q2???cos?222sinh?sin?2??Kp/20?1.178
?Kp?1?11??2?1?10?5.6%
4-6 试确定一个巴特沃斯低通滤波器的传递函数，要求信号在通带f?250Hz内，通带增
益最大变化量?Kp不超过2dB，在阻带f>1000Hz，衰耗不低于15dB。？ 由题意可知，通带截频fp=250Hz，阻带截频fr=1000Hz。首先试用二阶电路n=2，根据巴特沃斯低通滤波器幅频特性单调性以及式4-24有：
220lg[1/1?(fp/fc)]???Kp??2dB， fc=327Hz
阻带衰耗
ar?20lg1?(fr/fc)2?10.1dB
不满足设计要求。试用三阶电路n=3有：
320lg[1/1?(fp/fc)]??2dB， fc=273.4Hz
阻带衰耗
ar?20lg1?(fr/fc)?17dB
3满足设计要求，根据式4-25，仿照第二节例题可以确定其传递函数
H(?)?(?cs??cs?2sin?1?cs??)?c222c
=
5.069?1032936(s?1.718?10)[s?(1.715?10)s?2.951?10] 27
4-7 用单一运放设计一个增益为-1，fc?273.4Hz的三阶巴特沃斯高通滤波器。
首先参考式4-25确定相应低通滤波器的传递函数
?1?π/6， sin?1?1/2
H?(?)?(Kp?cs??c)?c222s?2sin?1?cs??c=(?cs??c)(??c222cs??cs??)
利用频率变换关系s/?c??c/s可以得到所求高通滤波器的传递函数
H(s)??(ss??c)(s222s??cs??c)?H1(?)H2(?)
然后确定电路结构。用单一运放构成三阶电路，其中一阶环节可由增益为1的RC无源电路实现。二阶环节增益为-1，可选无限增益多路反馈型电路，实际电路结构如下图。 对一阶电路有：
C3 C1 ui(t) R1 R2 - C2 ∞ C + + N R3 uo(t)
R 图X4-2 H1(s)?ss??c?ss?1/R3C
电容值可参考表4-2选择为C?0.1?F，电阻值可按下式计算：
R3?R3可选公称值为
12πCfc?5.821k?
5.6k?的电阻。
s222c对二阶电路有：
H2(s)??s??cs??
C1仍可参考表4-2选择为C1?0.1?F，因为增益为-1，由式(4-45)可得C3=C1。 这时还
有三个未知元件R1、R2与C2和两个约束条件
??0?C1?C2?C3R2C2C3?1,fc?12πR1R2C2C3
因此答案不唯一。如选择C2?C1?0.1?F，则R1?1.940k?，R2?17.46k?。最后选择元件公称值为R1?2k?，R2?17k?。
4-8 一电路结构如图4-26。其中R0?R1?R5?10k?，R2?4.7k?，R3?47k?，
R4?33k?，C1?C2?0.1?F。试确定当电阻R0断开与接入时电路功能分别是什
28
么？并计算相应的电路参数Kp、f0与Q。
令R0断路，输出Uo1(s)?f1(s)Ui(s)；令R1断路，输出Uo2(s)?f2(s)Uo(s)。因R0?R1， 故f1(s)?f2(s)?f(s),
Uo(s)?f1(s)Ui(s)?f2(s)Uo(s)?f(s)[Ui(s)?Uo(s)]
R5 R0 R1 C1 ui(t) R2 C2 R3 - + + N1 ∞ R4 - + + N2 uo(t) ∞ 习题4-8图
电阻R0断开时，前级电路与图4-14c完全一样，是一个无限增益多路反馈型二阶带通滤波器，后级是一个反相放大器，增益为?R5/R4??0.3030。
sUoUi?R5R4s2R1C2?1R3(1C1?1C2)s?R1?R2R1R2R3C1C2
这时电路功能仍为带通滤波器
Kp?R5R3C1?0.7121，f0?12πR1?R2R1R2R3C1C2R4R1(C1?C2)?129.8Hz
??2R1R2R3(R1?R2)R5?0.522
电阻R0接入时，最后可得到其传递函数
UoUiR1R4C2s?[2s]s?R1?R2R1R2R3C1C2?1R3C1(1?1C2)?R5R1R4C2
在选定参数情况下仍为带通滤波器，电路参数f0不变，Kp?2.474，??0.15。
4-9 设计一个品质因数不低于10的多级带通滤波器，如要求每一级电路的品质因数不超
过4，需要多少级级联才能满足设计要求？ 由式(4-61)
Q2n?nQn
lg2?4.67
2?122?1?(QQ2n)2,n?lg[1?(Q/Q2n)]取n=5,即可满足设计要求。级联后实际的品质因数为Q=10.37。
29
4-10 按图4-11a与图4-14 a设计两个二阶巴特沃斯低通滤波器，fc?1kHz，Kp?1，
其中无限增益多路反馈型电路按书中表4-2与表4-3设计，压控电压源电路则要求
C1参考表4-2选择，并要求C2?0.33C1。
由表4-2确定图4-14 a电路电容C1?0.01?F，相应的换标系数
K?100/(C1fc)?10，查表4-3得到r1?3.111k?，r2?4.072k?，r3?3.111k?，
C2?0.2C1。然后可以得到电路实际参数，R1?31.11k?，R2?40.72k?，
R3?31.11k?，C1?0.01?F，C2?0.002?F。最后选择元件公称值R1?30k?，
R2?39k?，R3?30k?，C1?0.01?F，C2?0.002?F。
图4-11 a电路中电容选择可参考表4-2，取值为C1?0.01?F，C2?0.0033?F，令R2/R1?x，对式(4-30)与(4-31)整理得到
R2C2R1C1R1C2R2C11x????0.33(x?)?2
0.33xC1fc)。如取
解之得到x1?0.2633，x2?3.797，由式(4-30)可得R1?1/(2?x?0.2633，则R1?53.99k?，R2?xR1?14.22k?；如取x2?3.797，则
最后选择元件公称值R1?56k?，R2?15k?或R1?14.22k?，R2?xR1?53.99k?。R1?15k?，R2?56k?。
4-11 一个二阶带通滤波器电路如图4-11 c所示，其中R1?56k?，R2?2.7k?，
R3?4.7k?，R0?20k?，R?3.3k?，C1?1?F，C2?0.1?F。求电路品
质因数Q与通带中心频率f0。当外界条件使电容C2增大或减小1%时，Q与f0变为多少？当电阻R2增大或减小1%，或当电阻R2减小5%时Q与f0变为多少？
由式(4-36)与(4-37)可得到：
f0?12π?1R3C1R1?R2R1R2R3C1C2?1R3C2??144.6Hz R0RR2C1?113.6r/s
?0Q?1R1C1Q?8.000
当电容C2增大1%时，仍按上面两式计算得到f0?143.9Hz，Q=9.772。当电容C2减小1%时，f0?145.4Hz，Q=6.762。当电阻R2增大1%时，f0?144.0Hz，Q=6.659。当电阻R2减小1%时f0?145.3Hz，Q=10.04。当电阻R2减小5%时，Q值变负，电路自激振荡。
4-12 在图4-16中，当R03开路，并且R01R3?R02R2时，u0为高通输出，u1输出性质如
何？
因为u0为高通输出，u0经过一个积分环节输出，相当于乘以一个积分运算符?1/(R5C2s)，所以u1为带通输出。从传递函数也可以证明这一点，令第一级运放输出为u2：
u2(s)??R2R01(1?sR2C1)ui(s)?R2R1(1?sR2C1)u1(s)
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